Compost polièdric

(S'ha redirigit des de: Políedre compost)

Un compost polièdric és una figura composta per diversos políedres que comparteixen un centre comú. Són els anàlegs tridimensionals dels compostos poligonals com l'hexagrama. Els vèrtexs veïns d'un compost es poden connectar per formar un políedre convex anomenat l'envolupant convexa. El compost és un facetatge de l'envolupant convexa. Un altre poliedre convex es forma pel petit espai central comú a tots els membres del compost. Aquest políedre es pot considerar el nucli per a un conjunt de estelacions incloent-hi el mateix compost (vegeu Llista de models de políedre de Wenninger per a aquests compostos i altres estelacions).

Compostos regularsModifica

Un compost polièdric regular es pot definir com un compost que, com un políedre regular, els seus vèrtex, cares i arestes són homogenis. Amb aquesta definició hi ha 5 composts regulars.

Components Figura Envolupant convexa Nucli Simetria Dual
Compost de dos tetràedres, o Estel octangle   Cub Octàedre Oh Ell mateix
Compost de cinc tetràedres   Dodecàedre Icosàedre I enantiomorf, o bessó quiral
Compost de deu tetràedres   Dodecàedre Icosàedre Ih Ell mateix
Compost de cinc cubs   Dodecàedre Triacontàedre ròmbic Ih Compost de cinc octàedres
Compost de cinc octàedres   Icosidodecàedre Icosàedre Ih Compost de cinc cubs

El més conegut és el compost de dos tetràedres, sovint anomenat l'estrella octangula, un nom donat per Kepler. Els vèrtexs dels dos tetràedres defineixen un cub i la intersecció del dos un octàedre, que comparteix els mateixos plans de les cares que els compost. Així és una estelació de l'octàedre, i de fet l'única estelació finita seva. L'estrella octangula també es pot considerar com a compost dual regular. El compost de cinc tetràedres té dues versions enantiomòfiques, que juntes constitueixen el compost per 10 tetràedres. Cada un dels composts tetraèdrics és autodual, i el compost de 5 cubs és dual al compost de 5 octàedres.

Compostos dual-regularModifica

Un compost dual-regular es compon d'un políedre regular (un dels sòlids platònics o políedre de Kepler-Poinsot) i el seu dual regular, arranjat recíprocament sobre una interesfera comuna, tal que l'aresta d'un poliedre interseca l'aresta dual del políedre dual. N'hi ha cinc d'aquests compostos.

Components Imatge envolupant convexa Nucli Simetria
Compost de dos tetràedres   Cub Octàedre Oh
Compost de cub i octàedre Dodecàedre ròmbic Cuboctàedre Oh
Compost de dodecàedre i icosàedre Triacontàedre ròmbic Icosidodecàedre Ih
Compost de gran icosàedre i gran dodecàedre de estelat Dodecàedre Icosàedre Ih
Compost de petit dodecàedre estelat i gran dodecàedre   Icosàedre Dodecàedre Ih

El compost dual-regular d'un tetràedre amb el seu políedre dual és també l'estrella octangula regular, ja que el tetràedre és autodual. Els compostos cub-octàedre i dodecàedre-icosàedre són les primeres estelacions del cuboctàhedre i l'icosidodecàedre, respectivament. El compost de petit dodecàedre estelat i gran dodecàedre exteriorment sembla el mateix que el petit dodecàedre estelat, perquè el gran dodecàedre queda completament contingut dins.

Composts uniformesModifica

El 1976 John Skilling va publicar Compostos uniformes de iolíedres uniformes on enumerava 75 compostos (incloent-hi 6 conjunts infinits de prismes compostos, #20-#25) fets de políedres uniformes amb simetria rotacional. (Tots els vèrtexs són homogenis.) Aquesta llista inclou els cinc composts regulars de dalt.[1] Aquí es presenta una taula amb les figures dels 75 compostos uniformes llistats per Skilling. Molts estan pintats amb un color diferent per cada políedre component. Alguns com els parells quirals estan pintats per la simetria de les cares dins de cada políedre.

  • 1-19: Diversos (els 4,5,6,9,17 són els 5 composts regulars)
           
           
           
 
           
           
           
           
   
  • 46-67: Simetria tetraèdrica encaixada en la simetria de l'octàedre o l'icosàedre,
           
           
           
       
           
   

ReferènciesModifica

  1. «Uniform Compounds - Interocitors». Arxivat de l'original el 2007-09-28. [Consulta: 31 desembre 2008].

BibliografiaModifica

  • John Skilling, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 79, pp. 447-457, 1976.
  • Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997.
  • Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England, Cambridge University Press, 1983. (51-53)
  • Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974
  • Edmund Hess 1876 "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11 (1876) pp 5-97.
  • Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Compost polièdric