Usuari:Freutci/caracteristiques

Cas multidimensional

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori de dimensió $d$, és a dir, una aplicació ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d}):\Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ tal que cada component $X_{j},\ j=1,\dots ,d$ és una variable aleatòria. La seva funció característica és l'aplicació $\varphi _{\boldsymbol {X}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}$ definida per

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=E[e^{i(t_{1}X_{1}+\cdots +t_{d}X_{d})}],\quad (t_{1},\dots ,t_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.$$

Amb notació vectorial, si designem per ${\textstyle <{\boldsymbol {s}},{\boldsymbol {t}}>=\sum _{j=1}^{d}s_{j}t_{j}}$ el producte escalar ordinari de dos vectors ${\boldsymbol {s}}=(s_{1},\dots ,s_{d})\ {\text{i}}\ {\boldsymbol {t}}=(t_{1},\dots ,t_{d})$,

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}})=E[e^{i\,<{\boldsymbol {t}},{\boldsymbol {X}}>}],\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}.$$

Quan no hi hagi confusió, escriurem $\varphi$ en lloc de $\varphi _{\boldsymbol {X}}$.

Càlcul de la funció característica

Cas discret

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori discret amb funció de probabilitat $p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})$. Aleshores la seva funció característica és

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}}e^{i(t_{1}x_{1}+\cdots +t_{d}x_{d})}\,p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}),\quad (t_{1},\dots ,t_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.$$

Cas absolutament continu

Si ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ és un vector aleatori amb funció de densitat $f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})$. Aleshores la seva funció característica és

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(t_{1}x_{1}+\cdots +t_{d}x_{d})}\,f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d},\quad (t_{1},\dots ,t_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.$$

Propietats

Les propietats de les funcions característiques unidimensionals es trasllades al cas vectorial. Les següents propietats es troben a Sato ; per a les demostracions completes vegeu Cuppens.

• $\varphi ({\boldsymbol {0}})=1$, on ${\boldsymbol {0}}=(0,\dots ,0)$ .
• $\vert \varphi ({\boldsymbol {t}})\vert \leq 1,\quad \forall {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}$ .
• la funció $\varphi$ és uniformement contínua.
• La funció $\varphi$ és hermítica:
  $$\varphi (-{\boldsymbol {t}})={\overline {\varphi ({\boldsymbol {t}})}}.$$
• Per aquesta propietat és convenient escriure tots els vectors en columna, tal com és habitual en Algebra lineal. Designarem per ${\boldsymbol {U}}'$ la transposada d'una matriu (o vector) ${\boldsymbol {U}}$. Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'$ un vector aleatori, ${\boldsymbol {b}}=(b_{1},\dots ,b_{k})'$ un vector d'escalars i ${\boldsymbol {A}}$ una matriu $k\times d$. Definim
  $${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {A\,X}}+{\boldsymbol {b}}.$$
  Aleshores,
  $$\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=e^{i\,<{\boldsymbol {t}},{\boldsymbol {b}}>}\,\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {A't}})=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {b}}}\,\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {A't}}),\quad {\boldsymbol {t}}=(t_{1},\dots ,t_{k})'\in \mathbb {R} ^{k}.$$
• Teorema d'inversió. Necessitem algunes notacions: Recordem que un conjunt $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})$ , on ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{d}$, es diu que és un conjunt de continuïtat de (la distribució de) ${\boldsymbol {X}}$ si $P(X\in \partial B)=0$, on $\partial B$ és la frontera de $B$. Donats dos vectors, ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{d})\ {\text{i}}\ {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\dots ,b_{d})$ escriurem ${\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}$ (respectivament ${\boldsymbol {a}}\leq {\boldsymbol {b}}$) si $a_{j}<b_{j},\ j=1,\dots ,d$ (respectivament $a_{j}\leq b_{j},\ j=1,\dots ,d$). Si ${\boldsymbol {a}}\leq {\boldsymbol {b}}$ designarem per $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})$ el conjunt $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{d}:\ {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {b}}\}$ ; de manera anàloga es defineix $[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]$. Si $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})$ és un conjunt de continuïtat de ${\boldsymbol {X}}$, aleshores

$$P{\big (}X\in ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}){\big )}={\frac {1}{(2\pi )^{d}}}\lim _{\tau _{1}\to \infty }\cdots \lim _{\tau _{d}\to \infty }\int _{-\tau _{1}}^{\tau _{1}}\cdots \int _{-\tau _{d}}^{\tau _{d}}\prod _{j=1}^{d}{\frac {e^{-it_{j}a_{j}}-e^{it_{j}b_{j}}}{it_{j}}}\,\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})\,dt_{1}\cdots dt_{d}.$$

• Teorema d'unicitat. si ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques $\varphi _{\boldsymbol {X}}$ i $\varphi _{\boldsymbol {Y}}$ respectivament, tals que
  $$\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}})=\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}}),\quad \forall {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d},$$
  aleshores ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ tenen la mateixa distribució.
• Funció característica i independència. Els vectors aleatoris $d$-dimensionals ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}$ són independents si i només si
  $$\varphi _{({\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k})}({\boldsymbol {t}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {t}}_{k})=\varphi _{{\boldsymbol {X}}_{1}}({\boldsymbol {t}}_{1})\cdots \varphi _{{\boldsymbol {X}}_{k}}({\boldsymbol {t}}_{k}),\quad \forall {\boldsymbol {t}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {t}}_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.$$
• Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}$ vectors aleatoris $d$-dimensionals independents i posem
  $${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {X}}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {X}}_{k}.$$
  Aleshores
  $$\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\varphi _{{\boldsymbol {X}}_{1}}({\boldsymbol {t}})\cdots \varphi _{{\boldsymbol {X}}_{k}}({\boldsymbol {t}}),\quad \forall {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}.$$
• Funció característica i moments. Recordem que es diu que un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ té moment d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$, on $n_{1}\geq 0,\dots ,n_{d}\geq 0$, si $E{\big [}{\big \vert }X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big \vert }{\big ]}<\infty$, i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ per

$$m_{n_{1},\dots ,n_{d}}=E{\big [}X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big ]}.$$

Si el vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ compleix que $E{\big [}\Vert {\boldsymbol {X}}\Vert ^{m}{\big ]}<\infty$, on ${\textstyle \Vert {\boldsymbol {x}}\Vert ={\sqrt {\sum _{j=1}^{d}x_{j}^{2}}}}$ és la norma d'un vector ${\boldsymbol {x}}$, aleshores la funció característica $\varphi$ és de classe ${\mathcal {C}}^{m}$ i per a qualsevol $n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0$ , amb $\sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m$ ,

$$E(X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{k}^{n_{d}})={\frac {1}{i^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}}\,{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial t_{1}^{n_{1}}\cdots \partial t_{k}^{n_{d}}}}\,\varphi (t_{1}\dots ,t_{d}){\Big \vert }_{t_{1}=0,\dots ,t_{d}=0}.$$

Recíprocament, si la funció característica $\varphi$ és de classe ${\mathcal {C}}^{m}$per a $m$ parell , aleshores el vector ${\boldsymbol {X}}$ té moments d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ per qualsevol $n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0$, amb $\sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m$.

• Funció característica i convergència en distribució. Sigui $({\boldsymbol {X}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successió de vectors aleatoris $d$-dimensionals. Designem per $\varphi _{{\boldsymbol {X}}_{n}}$ la funció característica del vector ${\boldsymbol {X}}_{n}$ . Aleshores la successió convergeix en distribució a un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}$ si i només si
  $$\forall {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d},\ \varphi _{{\boldsymbol {X}}_{n}}({\boldsymbol {t}})\to \phi ({\boldsymbol {t}}),\ {\text{quan}}\ n\to \infty ,$$
  on $\phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}$ és una funció contínua en ${\boldsymbol {0}}$. En aquest cas, $\phi$ és la funció característica de ${\boldsymbol {X}}$

Exemples

Distribució multinomial

Article principal: Distribució multinomial

Considerem un experiment que pot tenir $d$ resultats diferents, que designarem per $R_{1},\dots ,R_{d}$ , amb probabilitats $p_{1},\dots ,p_{d}\in (0,1)$, $p_{1}+\cdots +p_{d}=1$. Fem $n$ repeticions independents i denotem per $X_{1}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{1}$, per $X_{2}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{2}$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir $x_{1}$ vegades el resultat $R_{1}$, $x_{2}$ vegades el resultat $R_{2}$, etc. amb $x_{1}+\cdots +x_{n}=n$ és

$$p_{(X_{1},\dots ,X_{d})}(x_{1},\dots ,x_{d})=P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{d}=x_{d})={\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{d}^{x_{d}}.$$

Es diu que el vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ segueix una distribució multinomial de paràmetres $n,p_{1},\dots ,p_{d}$, i s'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$ . Cal notar que cada component $X_{j}$ té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p_{j}$, $X_{j}\sim B(n,p_{j})$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles. La funció característica del vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ és

$$\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})={\big (}p_{1}e^{it_{1}}+\cdots +p_{d}e^{it_{d}}{\big )}^{n},\ t_{1},\dots ,t_{d}\in \mathbb {R} .$$

Càcul de la funció característica

Per a $t_{1},\dots ,t_{d}$,

$${\begin{aligned}\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})&=E(e^{i\sum _{j=1}^{d}t_{j}X_{j}})=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}\in \{0,\dots ,n\}, \atop \sum _{j=1}^{d}x_{j}=n}{\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,e^{i\sum _{j=1}^{d}t_{j}x_{j}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{d}^{x_{d}}\\&=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}\in \{0,\dots ,n\}, \atop \sum _{j=1}^{d}x_{j}=n}{\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,{\big (}p_{1}e^{it_{1}}{\big )}^{x_{1}}\cdots {\big (}p_{d}e^{it_{d}})^{x_{d}}={\big (}p_{1}e^{it_{1}}+\dots +p_{d}e^{it_{d}}{\big )}^{n},\end{aligned}}$$

on a l'última igualtat hem aplicat la fórmula

$$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{d})^{n}=\sum {\binom {n}{x_{1},\dots ,x_{d}}}a_{1}^{x_{1}}\cdots a_{d}^{x_{d}},$$

on la suma es fa sobre totes les $d$-ples $(x_{1},\dots ,x_{d})\in \mathbb {\{} 0,1,\dots ,n\}^{d}$ tals que $x_{1}+\cdots +x_{d}=n$.

A partir d'aquesta funció característica podem calcular de manera senzilla $E[X_{1}X_{2}]$:

$${\frac {\partial ^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})=-n(n-1)(p_{1}e^{it_{1}}+\cdots +p_{d}e^{it_{d}})^{n-2}p_{1}p_{2}e^{it_{1}}e^{it_{2}},$$

d'on

$$E(X_{1}X_{2})=n(n-1)p_{1}p_{2}.$$

Distribució normal multivariant

Vegeu Anderson . En aquest exemple escriurem tots els vectors en columna. Un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'$ es diu que segueix una distribució normal $d$-dimensional ${\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})$ on ${\boldsymbol {I}}_{d}$ és la matriu identitat, si té funció de densitat

$$f(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2})/2}.$$

Cal notar que les components del vector són independents, cadascuna amb una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$. La seva funció característica és

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=e^{-(t_{1}^{2}+\cdots +t_{d}^{2})/2}=e^{-{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {t}}/2},\ {\boldsymbol {t}}=(t_{1},\dots ,t_{d})^{\prime }\in \mathbb {R} ^{d}.$$

Càcul de la funció característica

$${\begin{aligned}\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})&=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(t_{1}x_{1}+\cdots +t_{d}x_{d})}\,f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(t_{1}x_{1}+\cdots +t_{d}x_{d})}\,e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +_{d}^{2})/2}\,dx_{1}\cdots dx_{d}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{it_{1}x_{1}-x_{1}^{2}/2}\,dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{it_{d}x_{d}-x_{d}^{2}/2}\,dt_{d}\\&=e^{-(t_{1}^{2}+\cdots +t_{d}^{2})/2},\end{aligned}}$$

on hem utilitzar la funció característica de la distribució ${\mathcal {N}}(0,1)$ que hem calculat abans.

Sigui ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $d\times d$ definida positiva i ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{d})^{\prime }$un vector d'escalars. La matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$ té una matriu arrel quadrada $\Sigma ^{1/2}$ definida positiva ( i per tant simètrica), que compleix${\big (}{\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\big )}^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}$ . Definim

$${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {\mu }}.$$

Per la fórmula que hem vist abans, la funció característica de ${\boldsymbol {Y}}$ serà, per ${\boldsymbol {t}}=(t_{1},\dots ,t_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}$,

$$\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}}\,\varphi _{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {\Sigma ^{1/2}t}})=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}}\,e^{-(\Sigma ^{1/2}{\boldsymbol {t}})'\Sigma ^{1/2}{\boldsymbol {t}}/2}=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {t}}'\Sigma {\boldsymbol {t}}/2}.$$

D'altra banda, atès que ${\text{E}}({\boldsymbol {X}})={\big (}{\text{E}}(X_{1}),\dots ,{\text{E}}(X_{d}){\big )}'={\boldsymbol {0}},$d'on

$${\text{E}}({\boldsymbol {Y}})={\big (}{\text{E}}(Y_{1}),\dots ,{\text{E}}(Y_{d}){\big )}'=(\mu _{1},\dots ,\mu _{d})'={\boldsymbol {\mu }}.$$

I per les propietats de la matriu de variàncies-covariàncies, la matriu de variàncies-covariàncies del vector ${\boldsymbol {Y}}$ serà:

$${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {Y}})={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}\,{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {Y}})\,{\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}={\boldsymbol {\Sigma }}.$$

S'escriu ${\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ . Utilitzant la fórmula del canvi de variables per a vectors aleatoris amb densitat, podem calcular la funció de densitat de ${\boldsymbol {Y}}$ , que és:

$$f_{\boldsymbol {Y}}(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}{\sqrt {{\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}}}}\,e^{-({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})/2},$$

on ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}$ és el determinant de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$.

En el cas que hem vist fins ara, la matriu de variàncies-covariàncies del vector normal multidimensional ${\boldsymbol {Y}}$ era no singular, és a dir, ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}>0$. Utilitzant la funció característica es pot definir un vector normal multidimensional de manera que inclogui el cas que la matriu de variàncies covariàncies sigui singular i que s'anomena vector normal multidimensional singular o degenerat ; aquest vector està concentrat en una varietat lineal (estricte) de $\mathbb {R} ^{d}$ i no té funció de densitat. Específicament, sigui ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $d\times d$ definida no negativa i ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{d})^{\prime }$un vector d'escalars; un vector aleatori ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{d})'$ , es diu que és normal multidimensional, i s'escriu ${\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ si té funció característica

$$\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=e^{i\,{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {t}}'\Sigma {\boldsymbol {t}}/2}.$$

Quan ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}=0$ es diu que és un vector normal multidimensional singular; en aquest cas, també el vector d'esperances és ${\boldsymbol {\mu }}$ i la matriu de variàncies és ${\boldsymbol {\Sigma }}$ , però si el rang de ${\boldsymbol {\Sigma }}$ és $r$, aleshores la distribució de ${\boldsymbol {Y}}$ està concentrada en una varietat lineal de dimensió $r$ i per tant no té funció de densitat.

Les variables $X_{1},\dots ,X_{d}$ són independents i totes tenen distribució ${\mathcal {N}}(0,1)$ . En efecte, per exemple, la funció de densitat marginal de $X_{1}$ és

$${\begin{aligned}f_{X_{1}}(x_{1})&=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{(X_{1},\dots ,X_{d})}(X_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{2}\cdots dx_{d}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x_{1}^{2}/2}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x_{2}^{2}/2}\,dx_{2}\cdots {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x_{d}^{2}/2}\,dx_{d}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x_{1}^{2}/2}.\end{aligned}}$$

Per tant, d'una banda $X_{1}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$. I de l'altra, tenim que

$$f_{(X_{1},\dots ,X_{d})}(x_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{d})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{d}}(x_{d}),\quad \forall x_{1},\dots ,x_{d}\in \mathbb {R} ,$$

d'on $X_{1},\dots ,X_{d}$ són independents. Aleshores, utilitzant la relació entre variables independents i funcions característiques i l'expressió de la funció característica de la distribució normal ${\mathcal {N}}(0,1)$ que hem calculat abans, tenim que per qualsevol $t_{1},\dots t_{d}\in \mathbb {R}$ ,

$$\varphi _{(X_{1},\dots ,X_{d})}(t_{1},\dots ,t_{d})=\varphi _{X_{1}}(t_{1})\cdots \varphi _{X_{d}}(t_{d})=e^{-t_{1}^{2}/2}\cdots e^{-t_{d}^{2}/2}=e^{-(t_{1}^{2}+\cdots +t_{d}^{2})/2}.$$

Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 9. ISBN 0-521-55302-4. 

Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. New York: Academic Press, 1975. ISBN 0-12-199450-3.