Àlgebra elemental

conceptes bàsica de l'àlgebra dels nombres reals i complexos

L'àlgebra elemental inclou alguns dels conceptes bàsics de l'àlgebra, una de les principals branques de les matemàtiques. Normalment s'ensenya àlgebra elemental a secundària i els seus principis es fonamenten en l'aritmètica. Així com l'aritmètica tracta amb nombres específics,[1] l'àlgebra introdueix quantitats sense valor fixe, conegudes com variables.[2] Aquest ús de variables implica l'ús de notació algebraica i una comprensió de les regles generals de les operacions matemàtiques introduïdes en l'aritmètica. A diferència de l'àlgebra abstracta, l'àlgebra elemental no tracta amb estructures algebraiques més enllà del regne dels reals i dels imaginaris.

Gràfica bidimensional (corba vermella) de l'equació algebraica

L'ús de variables per denotar quantitats no determinades permet establir relacions generals entre quantitats expressades de formalment i concisa, i per tant permet resoldre un camp més ampli de problemes. Moltes relacions quantitatives en la ciència i les matemàtiques estan expressades en forma d'equació algebraica.

Notació algebraicaModifica

Article principal: Notació matemàtica

La notació algebraica descriu les regles i les convencions per escriure expressions matemàtiques, així com la terminologia que s'utilitza per parlar de parts d'expressions. Per exemple, l'expressió   té els següents components:

Un coeficient és un valor numèric, o una lletra que representa una constant numèrica, que multiplica una variable (l'operador és omès). Un terme és un sumand, un grup de coeficients, variables, constants i exponents que es pot separar dels altres termes pels operadors més o menys.[3] Les lletres representen variables i constants. Per conveni, les primeres lletres de l'alfabet (és a dir  ) són usades sovint per representar constants, i les últimes lletres (és a dir   i z) s'usen per representar variables.[4] Normalment s'escriuen en cursiva.[5]

Les operacions algebraiques funcionen de la mateixa manera que les operacions aritmètiques,[6] com la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i la potenciació,[7] i s'apliquen a les variables algebraiques i als termes. Els símbols de multiplicació són sovint omesos, i se sobreentenen quan no hi ha res entre dues variables o dos termes, o quan s'utilitza un coeficient. Per exemple,   s'escriu  , i   es pot escriure  .[8]

Normalment, els termes que tenen una potència més gran (exponent) es troben a l'esquerra de les expression, per exemple,   s'escriu a l'esquerra de x. Quan un coeficient és 1, és normalment omès (per exemple   s'escriu  ).[9] Igualment s'omet l'exponent quan és 1, (per exemple   s'escriu  ).[10] Quan l'exponent és zero, s'escriu simplement 1 (per exemple   sempre es reescriu com 1).[11] Tanmateix  , en ser indefinit, no hauria d'aparèixer en una expressió, i s'ha de vigilar quan se simplifiquen expressions en què les variables apareixen en els exponents.

Notació alternativaModifica

Quan el format requerit no està disponible, s'utilitzen altres tipus de notació en les expressions algebraiques. Com a il·lustació d'això, mentre que en text pla s'utilitzen superíndexs pels exponents ( ), en altres àmbits com ara el llenguatge de marques de TeX, s'utilitza el símbol caret "^" per representar les potències, així doncs   s'escriu "x^2".,[12][13] així com en altres llenguatges de programació com ara Lua. En llenguatges de programació com Ada,[14] Fortran,[15] Perl,[16] Python [17] i Ruby,[18] s'utilitza un doble asterisc, així doncs   s'escriu "x**2". Molts llenguatges de programació i calculadores utilitzen un únic asterisc per representar el símbol de la multiplicació,[19] i s'ha d'utilitzar de forma explícita, per exemple,   s'escriu "3*x".

ConceptesModifica

VariablesModifica

Article principal: Variable (matemàtiques)

L'àlgebra elemental estén i està construïda sobre l'aritmètica[20] a partir de la introducció de lletres anomenades variables per representar nombres generals (no específics). Això és útil per diferents raons.

  1. Les variables poden representar nombres els valors dels qual encara no són coneguts. Per exemple, si la temperatura del dia d'avui, A, és 20 graus més alta que la temperatura del dia previ P, llavors el problema pot ser descrit algebraicament com  .[21]
  2. Les variables permeten descriure problemes generals,[22] sense especificar els valors de les quantitats implicades. Per exemple, es pot afirmar específicament que 5 minuts són equivalents a   segons. Una descripció (algebraica) més general pot afirmar que el nombre de segons,  , on m és el nombre de minuts.
  3. Les variables permeten descriure relacions matemàtiques entre quantitats que poden canviar.[23] Per exemple, la relació entre la longitud de la circumferència, c, i el diàmetre, d, d'un cercle és descrita per la relació  .
  4. Les variables permeten descriure algunes propietats matemàtiques. Per exemple, una propietat bàsica de la suma és la commutativitat que afirma que l'ordre dels nombers que se sumen no influeix en el resultat. La commutativitat és expressada algebraicament com  .[24]

Expressions simplificadesModifica

Es poden avaluar i simplificar les expressions algebraiques, mitjançant les propietats bàsiques de les operacions aritmètiques (la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i la potenciació). Per exemple,

  • Els termes que se sumen, a través dels coeficients. Per exemple, es pot simplificar   a   (on 3 és un coeficient numèric).
  • Els termes que es multipliquen, a través dels exponents. Per exemple,   és representat mitjançant  
  • Termes similars se sumen junts,[25] per exemple,   s'escriu com  , perquè els termes que contenen   se sumen junts, i els termes que contenen   se sumen junts (s'extreu factor comú).
  • Els elements de dins d'un parèntesis són multiplicats per allò que els multiplica des de fora usant la propietat distributiva. Per exemple,   pot ser escrit com   que, usant les propietats anteriors, és  
  • Les expressions es poden factoritzar. Per exemple,  , dividint cada terme per   pot ser escrit com  

EquacionsModifica

 
Animació que il·lustra el teorema de Pitàgores per un triangle rectangle, que mostra la relació algebraica entre la hipotenusa, i els altres dos catets.
Article principal: Equació

Una equació afirma que dues expressions són iguals a través del símbol d'igualtat, = (el signe igual).[26] Una de les equacions més conegudes descriu el teorema de Pitàgores, que relacions la longitud dels costats d'un triangle rectangle:[27]

 

Aquesta equació afirma que  , que representa el quadrat de la longitud de la hipotenusa (el costat contrari a l'angle recte) és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats, les longituds dels quals són representades com a i b.

Una equació és l'afirmació que dues expressions tenen el mateix valor i són iguals. Algunes equacions són certes per tot valor de les variables que hi apareixen (com és el cas de  ); aquestes equacions són anomenades identitat. Les equacions condicionals són certes només per alguns valors de les variables que hi apareixen, per exemple   és cert només per   i  . Els valors de les variables que fan que l'equació sigui certa són les solucions de l'equació i es poden trobar mitjançant la resolució de l'equació.

Una altra tipus d'equació és la desigualtat. S'utilitzen les desigualtats per afirmar que el valor en un costat de l'rquació és més gran o més petit que el de l'altre costat. El símbols que s'utilitzen són:   on   representa 'més gran que', i   on   representa 'menys que'. Igual que en les equacions d'igualtat estàndard, es poden sumar, restar, multiplicar o dividir els nombres. L'única excepció és que quan es multiplica o divideix per un nombre negatiu, el símbol de desigualtat s'inverteix.

Propietats de la igualtatModifica

Per definició, l'igualtat és una relació d'equivalència, en el sentit que té les propietats (a) reflexivitat (és a dir,  ), (b) simetria (és a dir, si   llavors  ) (c) transitivitat (és a dir, si   i   llavors  ).[28] També satisfà la important propietat que sí s'utilitzen dos símbols diferents per coses iguals, llavors un dels símbols pot ser substituït per l'altre en qualsevol afirmació sobre el primer i l'afirmació seguirà sent vàlida. Això implica les següents propietats:

  • si   i   llavors   i  ;
  • si   llavors   i  ;
  • més generalment, per qualsevol funció f, si   llavors  .

Propietats de la desigualtatModifica

Les relacions menor que   i major que   tenen la propietat de la transitivitat:[29]

  • Si       i       llavors    ;
  • Si       i       llavors    ;[30]
  • Si       i       llavors    ;
  • Si       i       llavors    .

Revertint aquesta desigualtat,   i   poden ser intercanviats,[31] per exemple:

  •   és equivalent a  

BibliografiaModifica

ReferènciesModifica

  1. H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
  2. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 2
  3. Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
  4. William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
  5. James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
  6. Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
  7. Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
  8. Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
  9. David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
  10. John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
  11. Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
  12. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153, 9789380298153, page 212
  13. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN 0817641327, 9780817641320, page 17
  14. S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, ISBN 3540693351, 9783540693352, page 13
  15. C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Publisher New Age International, 1994, ISBN 812240670X, 9788122406702, page 20
  16. Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140, 9781449313142, page 24
  17. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586, 9781598631586, page 46
  18. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484, 9781593271480, page 72
  19. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN 0883857367, 9780883857366, page 75
  20. Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii
  21. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
  22. Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, page 2
  23. Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 pages, page 210
  24. Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 pages, page 49
  25. Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Publisher Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 pages, page 51
  26. Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications, Publisher Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, page 134
  27. Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, page 493
  28. Douglas Downing, Algebra the Easy Way, Publisher Barron's Educational Series, 2003, ISBN 0764119729, 9780764119729, 392 pages, page 20
  29. Ron Larson, Robert Hostetler, Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524, 9780618753529, 857 pages, page 96
  30. «What is the following property of inequality called?». Stack Exchange, 29-11-2014.
  31. Chris Carter, Physics: Facts and Practice for A Level, Publisher Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X, 9780199147687, 144 pages, page 50
  32. Euler's Elements of Algebra Arxivat 2011-04-13 a Wayback Machine.
  33. ; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis«Elements of Algebra». Longman, Orme, 04-05-2018.