*-àlgebra

àlgebra equipada amb una involució sobre un anell *

En matemàtiques, i més concretament en àlgebra abstracta, una *-àlgebra (o àlgebra involutiva; llegit com "àlgebra estrella") és una estructura matemàtica formada per dos anells involutius R i A, on R és commutativa i A té l'estructura de una àlgebra associativa sobre R. Les àlgebres involutives generalitzen la idea d'un sistema de nombres equipat amb conjugació, per exemple els nombres complexos i la conjugació complexa, les matrius sobre els nombres complexos i la transposició conjugada, i els operadors lineals sobre un espai de Hilbert i adjunts hermitians. Tanmateix, pot passar que una àlgebra no admeti cap involució.[1]

Definicions

modifica

*-anell

modifica

En matemàtiques, un *-anell és un anell amb un mapa * : AA que és un antiautomorfisme i una involució.

Més precisament, * requereix de satisfer les propietats següents: [2]

  • (x + y)* = x* + y*
  • (x y)* = y* x*
  • 1* = 1
  • (x*)* = x

per a tot x, y en A.

Això també s'anomena anell involutiu, anell involutiu i anell amb involució. El tercer axioma està implicat pels axiomes segon i quart, el que el fa redundant.

Els elements tals que x* = x s'anomenen autoadjunts.[3]

Exemples arquetípics d'un anell * són camps de nombres complexos i nombres algebraics amb una conjugació complexa com a involució. Es pot definir una forma sesquilínia sobre qualsevol anell *.

A més, es poden definir *-versions d'objectes algebraics, com ara ideal i subanell, amb el requisit de ser *- invariant: xIx* ∈ I i així successivament.

* Els anells no estan relacionats amb els semianells estrella en la teoria de la computació.

*-àlgebra

modifica

Una *-àlgebra A és un *-anell, amb involució * que és una àlgebra associativa sobre un *-anell R commutatiu amb involució ', tal que (r x)* = r' x*  ∀rR, xA.

La base *-anell R són sovint els nombres complexos (amb ' actua com a conjugació complexa).

Es dedueix dels axiomes que * sobre A és lineal conjugat en R, és a dir

(λ x + μy)* = λ' x* + μ' y*

per a λ, μR, x, yA.

A *-homomorfisme f : AB és un homomorfisme d'àlgebra que és compatible amb les involucions de A i B, és a dir,

f(a*) = f(a)* per tot a dins A.[4]

Exemples

modifica

Referències

modifica
  1. «star-algebra in nLab» (en anglès). [Consulta: 19 juny 2024].
  2. Weisstein, Eric W. «C-Star Algebra» (en anglès). Wolfram MathWorld, 2015.
  3. Baez, John. «Octonions» (en anglès). Department of Mathematics. University of California, Riverside, 2015. Arxivat de l'original el 26 March 2015. [Consulta: 27 gener 2015].
  4. Baez, John. «Octonions» (en anglès). Department of Mathematics. University of California, Riverside, 2015. Arxivat de l'original el 26 March 2015. [Consulta: 27 gener 2015].