Distribució beta no central

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució beta no central és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització no central de la distribució beta (central).

Beta no central

Tipus	distribució de probabilitat
Notació	Beta(α, β, λ)
Paràmetres	α > 0 forma (real) β > 0 forma (real) λ ≥ 0 no centralitat (real)
Suport	$x\in [0;1]\!$
fdp	(tipus I) $\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {x^{\alpha +j-1}\left(1-x\right)^{\beta -1}}{\mathrm {B} \left(\alpha +j,\beta \right)}}$
FD	(tipus I) $\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}I_{x}\left(\alpha +j,\beta \right)$
Esperança matemàtica	(tipus I) $e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +1\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +1;\alpha ,\alpha +\beta +1;{\frac {\lambda }{2}}\right)$ (vegeu funció hipergeomètrica confluent)
Variància	(tipus I) $e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +2\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +2\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +2;\alpha ,\alpha +\beta +2;{\frac {\lambda }{2}}\right)-\mu ^{2}$ on $\mu$ és l'esperança matemàtica. (vegeu funció hipergeomètrica confluent)

La distribució beta no central (tipus I) és la distribució de la relació

$X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},$

on $\chi _{m}^{2}(\lambda )$ és una variable aleatòria chi quadrat no central amb graus de llibertat m i un paràmetre de no centralitat $\lambda$, i $\chi _{n}^{2}$ és una variable aleatòria central chi quadrat amb graus de llibertat n, independent de $\chi _{m}^{2}(\lambda )$. En aquest cas, $X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)$

Una distribució beta no central de tipus II és la distribució de la relació

$Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},$

on la variable chi quadrat no central només es troba al denominador. Si $Y$ segueix la distribució tipus II, doncs $X=1-Y$ segueix una distribució de tipus I.

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat (tipus I) per a la distribució beta no central és:

$f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.$

on $B$ és la funció beta, $\alpha$ i $\beta$ són els paràmetres de forma, i $\lambda$ és el paràmetre de no centralitat. La densitat de Y és la mateixa que la de 1-X amb els graus de llibertat invertits.

Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada de tipus I es representa normalment com una barreja de Poisson de variables aleatòries beta centrals: $F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),$

on λ és el paràmetre de no centralitat, P (.) és la funció de massa de probabilitat de Poisson(λ/2), \alpha=m/2 i \beta=n/2 són paràmetres de forma i $I_{x}(a,b)$ és la funció beta incompleta. Això és,

$F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).$