Distribució uniforme contínua

En teoria de probabilitat i estadística, es diu que una variable aleatòria $X$ té una distribució uniforme contínua en un interval $[a,b]$ si la probabilitat que $X$ pertanyi a un subinterval $[c,d]\subset [a,b]$ és proporcional a la longitud de $[c,d]$:

Distribució uniforme contínua

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució univariant, família escala de localització, distribució de probabilitat simètrica i Distribució uniforme multidimensional
Notació	$U(a,b)$ o $\mathrm {unif} (a,b)$
Paràmetres	$-\infty <a<b<\infty \,$
Suport	$x\in [a,b]$
fdp	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
FD	${\begin{cases}0&{\text{si}}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{si }}x\in [a,b)\\1&{\text{si }}x\geq b\end{cases}}$
Esperança matemàtica	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Mediana	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Moda	qualsevol valor a l'nterval $(a,b)$
Variància	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Coeficient de simetria	0
Curtosi	$-{\tfrac {6}{5}}$
Entropia	$\ln(b-a)\,$
FGM	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si}}t=0\end{cases}}$
FC	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si }}t=0\end{cases}}$
EOM	Uniform_distribution
Mathworld	UniformDistribution

$$P(c\leq X\leq d)={\dfrac {d-c}{b-a}}.$$La probabilitat que $X<a$ o $X>b$ és zero.

Abreujadament es diu que $X$ és una variable aleatòria uniforme en l'interval $[a,b]$, i s'escriu $X\,\sim \,U(a,b)$.

La funció de distribució $F$ és calcula de la següent manera: per a $x<a,\ F(x)=P(X\leq x)=0$. Per a $x\in [a,b)$ $$F(x)=P(X\leq x)=P(a\leq X\leq x)={\frac {x-a}{b-a}}.$$ Finalment, per a $x\geq b,\ F(x)=P(X\leq x)=P(0\leq X\leq b)=1.$

La funció de densitat $f$ és $$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{si }}x<a,\\{\dfrac {1}{b-a}},&{\text{si }}x\in [a,b],\\0,&{\text{si }}x>b.\end{cases}}$$ Noteu que la funció de densitat és constant en l'interval $[a,b]$, amb analogia a la distribució uniforme discreta, la funció de probabilitat de la qual és constant en els punts on està definida.

Si dividim l'interval$[a,b]$ en dues parts iguals, $[a,(a+b)/2]$ i $[(a+b)/2,b]$, la probabilitat que la variable $X$ estigui en una part o en l'altre són iguals a $1/2$. En general, si dividim $[a,b]$ en $n$parts iguals, la probabilitat que estigui en cadascuna de les parts és $1/n$. Intuïtivament, la distribució uniforme contínua és una generalització de la distribució uniforme discreta al cas continu.

Sovint s'utilitza la frase un punt $X$ elegit a l'atzar a l'interval $[a,b]$ per indicar que $X\,\sim \,U(a,b)$.

Relació amb la variable uniforme en $[0,1]$

Si $X\,\sim \,U(a,b)$, aleshores la variable

$U={\frac {X-a}{b-a}}$ és uniforme en $[0,1]$, en símbols, $U\,\sim \,U(0,1).$

Recíprocament, si $U\,\sim \,U(0,1),$aleshores la variable definida per

$X=a+(b-a)U$ és uniforme en $[a,b]$