Matriu transposada conjugada

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu A de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu A^* de dimensió n per m obtinguda a partir d'A prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:

$(\mathbf {A} ^{*})_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$

on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de $a+bi$, on a i b són reals, és $a-bi$.)

També podem escriure aquesta definició com:

$\mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}}$

on $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,\!$ denota la transposada i ${\overline {\mathbf {A} }}\,\!$ denota la matriu amb entrades conjugades.

La matriu transposada conjugada d'una matriu A es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:

• $\mathbf {A} ^{*}\,\!$ o $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\,\!$, d'ús comú a l'àlgebra lineal
• $\mathbf {A} ^{\dagger }\,\!$, d'ús estès a mecànica quàntica
• $\mathbf {A} ^{+}\,\!$, encara que aquest símbol s'usa més freqüentment a l'hora de denotar la pseudoinversa d'una matriu

En alguns contexts, $\mathbf {A} ^{*}\,\!$ denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu $\mathbf {A} ^{*\mathrm {T} }\,\!$ o $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} *}\,\!$.

Exemple

Si

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3+i&5&-2i\\2-2i&i&-7-13i\end{bmatrix}}$

llavors

$\mathbf {A} ^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\\2i&-7+13i\end{bmatrix}}$

Observacions

Una matriu quadrada A amb entrades $a_{ij}$ s'anomena:

• Hermítica o autoadjunta si A = A^*, és a dir, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ .
• Antihermítica si A = −A^*, és a dir, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ .
• Normal si A^*A = AA^*.
• Unitària si A^* = A^-1.

Encara que A no sigui quadrada, les dues matrius A^*A i AA^* són totes dues hermítiques, i de fet són semidefinides positives.

Per trobar la transposada conjugada d'una matriu A a entrades reals, n'hi ha propu amb trobar-ne la transposada, ja que el conjugat complex d'un nombre real és el mateix nombre real.

Motivació

Una possible motivació per la definició del concepte de transposada conjugada rau en el fet que els nombres complexos es poden representar mitjançant matrius reals 2×2, amb les operacions habituals d'addició i producte matricials:

$a+ib\mapsto \left({\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}\right).$

És a dir, estem representant cada nombre complex z per la matriu real 2×2 de la transformació lineal associada al diagrama d'Argand (vist com l'espai vectorial real ℝ²).

Una matriu m per n de nombres complexos pot representar-se, de forma anàloga, per una matriu 2m per 2n a entrades reals. La transposada conjugada sorgeix de manera natural com a simple transposició d'aquesta matriu, que pot visualitzar-se de nou com una matriu n per m a entrades complexes.

Propietats

• (A + B)^* = A^* + B^* per dues matrius qualssevol A i B de les mateixes dimensions.
• (r A)^* = r^*A^* per qualsevol complex r i qualsevol matriu A. Aquí, r^* denota el conjugat complex de r.
• (AB)^* = B^*A^* per qualsevol matriu A m per n i qualsevol matriu B n per p. Notem que s'inverteix l'ordre dels factors.
• (A^*)^* = A per qualsevol matriu A.
• Si A és una matriu quadrada, llavors det (A^*) = (det A)^* i tr (A^*) = (tr A)^*
• A és invertible si i només si A^* és invertible, i en cas afirmatiu, (A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^*.
• Els valors propis de A^* són els conjugats complexos dels valors propis de A.
• $\langle \mathbf {Ax} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {A} ^{*}\mathbf {y} \rangle$ per qualsevol matriu A m per n, qualsevol vector x de ℂⁿ i qualsevol vector y de ℂ^m. Aquí, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota el producte escalar habitual a ℂ^m i ℂⁿ.

Generalitzacions

La darrera propietat que hem vist ens mostra que si visualitzem A com una transformació lineal entre els espais de Hilbert ℂⁿ i ℂ^m, llavors la matriu A^* correspon a l'operador adjunt de A. Així doncs, el concepte d'operador adjunt entre espais de Hilbert es pot veure com una generalització del concepte de matriu transposada conjugada.

Una altra generalització: suposem que A és una aplicació lineal d'un espai vectorial complex V a un altre, W. Llavors té sentit definir l'aplicació lineal conjugada i l'aplicació lineal transposada, i podem prendre la transposada conjugada de A com la conjugada complexa de la transposada de A. Així tenim una correspondència entre l'espai dual de W i el conjugat dual de V.

Vegeu també

• Operador adjunt
• Matriu d'adjunts

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Adjoint matrix. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Conjugate Transpose» a MathWorld (en anglès).
• Conjugate transpose a PlanetMath