Estadístic mostral

En estadística un estadístic (mostral) és una mesura quantitativa, derivada d'un conjunt de dades d'una mostra, amb l'objectiu d'estimar o contrastar característiques d'una població o model estadístic.

Més formalment un estadístic és una funció mesurable T que, donada una mostra estadística de valors $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ , els assigna un nombre, $T(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ , que serveix per estimar determinat paràmetre de la distribució de la qual procedeix la mostra. Així, per exemple, la mitjana dels valors d'una mostra (mitjana mostral) serveix per estimar la mitjana de la població de la qual s'ha extret la mateixa, la variància mostral podria utilitzar-se per estimar la variància poblacional, etc.^[1] Això s'anomena com realitzar una estimació puntual.

Exemples

Mitjana mostral

Si es té una mostra estadística de valors $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ per a una variable aleatòria X amb distribució de probabilitat F ( x , θ ) (on θ és un conjunt de paràmetres de la distribució) es defineix la mitjana mostral n -èsima com:

${\bar {X}}_{n}=T(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}$

Variància mostral

De forma anàloga a la Mitjana Mostral i utilitzant els mateixos elements que en aquesta, la definició de Variància és la següent:

$S_{n}^{2}=T((x_{1}-{\bar {X}}_{n})^{2},(x_{2}-{\bar {X}}_{n})^{2},...,(x_{n}-{\bar {X}}_{n})^{2})={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x_{n}}})^{2}={\overline {x_{num}^{2}}}-({\bar {X}})^{2}$

Moments mostrals

Amb les mateixes notacions usades a la mitjana i variància mostral es defineix l'estadístic moment mostral no centrat com:

$m_{k}=M_{k}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$

Noteu que m₁ és precisament la mitjana mostral. Anàlogament es defineix l'estadístic moment mostral centrat com:

$a_{k}=M_{k}^{c}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}}_{n})^{k}$

que guarda les següents relacions amb estadístiques prèviament definits:

$a_{1}=0\qquad a_{2}=m_{2}-m_{1}^{2}={\frac {n-1}{num}}S_{n}^{2}$

Propietats

Suficiència

El concepte d'estadístic suficient va ser introduït per Fisher a 1922, i com originalment va indicar, un estadístic és suficient per als objectius de la inferència estadística si conté, en cert sentit tota la «informació»sobre la funció de distribució a partir de la qual s'ha generat la mostra.

Formalment si $X_{1},X_{2},...,X_{n}\;$ és una mostra d'una variable aleatòria $X\;$ la distribució de probabilitat pertany a una família de distribucions donades per un vector paramètric ${\mathcal {F}}=\{F_{\theta }|\theta \in \Theta \}$ , llavors es diu que un cert estadístic $T=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})\;$ és suficient per θ o per a la família si i només si, la distribució condicionada de $X_{1},X_{2},...,X_{n}|T\;$ no depèn de $\Theta \;$ .

Aplicacions

Estimació puntual

L'estimació puntual consisteix a utilitzar el valor d'un estadístic, denominat estimador , per calcular el valor d'un paràmetre desconegut d'una població. Per exemple, quan fem servir la mitjana mostral per estimar la mitjana d'una població, o la proporció d'una mostra per estimar el paràmetre d'una distribució binomial.

Una estimació puntual d'algun paràmetre d'una població és un sol valor obtingut a partir d'un estadístic.

Contrast d'hipòtesis

Prova o test χ ² (chi-quadrat)

Test t -Student

És un test que permet decidir si dues variables aleatòries normals (gaussiana) i amb la mateixa variància tenen mitjanes diferents. Donada la ubiqüitat de la distribució normal o gaussiana el test pot aplicar-se en nombrosos contextos, per comprovar si la modificació en les condicions d'un procés (humà o natural) essencialment aleatori produeixen una elevació o disminució de la mitjana poblacional. El test opera decidint si una diferència en la mitjana mostral entre dues mostres és estadísticament significativa, i llavors poder afirmar que les dues mostres corresponen a distribucions de probabilitat de mitjana poblacional diferent, o per contra afirmar que la diferència de mitjanes es pot deure a oscil·lacions estadístiques atzaroses.

L'eficàcia del test augmenta amb el nombre de dades del qual consten les dues mostres, en concret del nombre de graus de llibertat conjunt de les dues mostres, aquest nombre ve donat per $GL=N_{1}+N_{2}-2$ (sent N _i la grandària mostral, és a dir, el nombre de dades en cada mostra i ). La prova consisteix a examinar l'estadístic t obtingut a partir de les dues mostres com:

t={\frac {{\bar {X}}_{A}-{\bar {X}}_{B}}{s_{X_{A}-X_{B}}}}\qquad \ s_{X_{A}-X_{B}}:={\sqrt {{({N}_{1}-1)s_{1}^{2}+({N}_{2}-1)s_{2}^{2} \over {N}_{1}+{N}_{2}-2}\left({1 \over N_{1}}+{1 \over N_{2}}\right)}}

I aquest valor es compara amb un valor de referència basat en el nombre de graus de llibertat i el nivell de significació. Aquest valor de referència s'obté a partir de la distribució t de Student.

En comparar les 2 mitjanes, sovint sempre se suposa que el nivell de significació α sigui menor que 0,05.

Test F -Snedecor

aquestes són de regressió

r = (25 (1404) - (183) (185))/√ (((25 (1395) - (18 〖3)〗^2 (25 (1427) - (185)^2))

r = 1.245/√ ((34.875-33.489) (35.675-34.225))

r = 1.245/√ ((1386) (1450))

r = 1245/1417.638882

r = 0,878220833

Vegeu també

Paràmetre estadístic

Referències

↑ Cases Sánchez, Jose M.; Manzano Arrondo, Vicente; Zamora Sanz, Ana Isabel;. «C3% ADstica & as_brr = 3 # PPA32, M1 1.3. Paràmetres poblacionals i estadístics mostrals». A: Inferència Estadística. 2a ed.. Ramón Areces, 1997, p. 32. ISBN 848004263X [Consulta: 14 abril 2009]. ^{[Enllaç no actiu]}

'Introducció a l'Estadística Econòmica i Empresarial. Teoria i Pràctica. ' de Fco Javier Martín-Plec López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).
'Manual d'Estadística Empresarial amb exercicis resolts' d'Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gavà i Eva Romero. Editorial Delta Publicacions. 2008 (Madrid).

[1] Cases Sánchez, Jose M.; Manzano Arrondo, Vicente; Zamora Sanz, Ana Isabel;. «C3% ADstica & as_brr = 3 # PPA32, M1 1.3. Paràmetres poblacionals i estadístics mostrals». A: Inferència Estadística. 2a ed.. Ramón Areces, 1997, p. 32. ISBN 848004263X [Consulta: 14 abril 2009]. ^{[Enllaç no actiu]}

[1]