Comparació de topologies

En topologia, el conjunt de totes les topologies sobre un conjunt donat és un conjunt parcialment ordenat. Aquesta relació d'ordre pot utilitzar-se per comparar topologies.

Definició

Sigui $X$ un conjunt, una topologia ${\mathcal {T}}$ sobre aquest conjunt és una família de subconjunts anomenats oberts que compleixen determinades condicions.

Siguin ${\mathcal {T}}_{1}$ i ${\mathcal {T}}_{2}$ dues topologies sobre $X$, aleshores la topologia ${\mathcal {T}}_{1}$ és més fina que ${\mathcal {T}}_{2}$ si ${\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$. També, es diu que ${\mathcal {T}}_{2}$ és més gruixuda o més feble que ${\mathcal {T}}_{1}$. Si la relació d'inclusió és estricta, s'afegeix el terme estrictament. Si ${\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}$, les topologies són equivalents.

La relació d'inclusió $\subseteq$ defineix una relació parcial d'ordre sobre el conjunt de possibles topologies sobre $X$.

Exemples

• La topologia més fina sobre un conjunt donat és la topologia discreta i la topologia més gruixuda és la trivial.
• Sobre els reals, la topologia estàndard és més feble que la topologia de Sorgenfrey.
• Sobre $\mathbb {R} ^{n}$, les topologies induïdes per la distància euclidiana, distància del màxim i distància de Manhattan són equivalents.
• Sobre $\mathbb {R}$, la topologia cofinita és més feble que la estàndard.

Propietats

Siguin ${\mathcal {T}}_{1}$ i ${\mathcal {T}}_{2}$ dues topologies sobre $X$. Les següents condicions són equivalents:

• ${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}$
• La funció identitat $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})$ és contínua.
• La funció identitat $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})$ és oberta.

Vegeu també

• Espai topològic

Bibliografia

• Munkres, James R. Topologia (en anglès). 2ª. Prentice Hall, 2000, p. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.