En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.[1]
Sigui i , independents, amb i . La variable aleatòria es diu que segueix una distribució amb i graus de llibertat.. S'escriu .
La seva funció de densitat éson és la funció beta.
La funció de distribució per a es pot escriure on és una funció beta incompleta regularitzada. Per a , .
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució és quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu , nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució amb graus de llibertat qualsevol nombres .
Càlcul de la funció de densitat
Comencem buscant la funció de densitat de
Amb aquest objectiu, considerarem el canvi i després buscarem la marginal de . Per la independència de i , la densitat conjunta del vector és el producte de les densitats d'aquestes dues variables: on Considerem l'aplicació donada per que és bijectiva. La inversa és , El determinant jacobià de és . Llavors, la funció de densitat de (vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina Vector aleatori) és Per tant, La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la funció gamma i, canviant pel seu valor, s'obté Finalment, per calcular la densitat de s'utilitza que si és una variable aleatòria amb funció de densitat , llavors la densitat de la variable , amb , és
Càlcul de la funció de distribució
Per a tenim En aquesta integral es fa el canvi i s'obté una integral del tipus funció beta.
Phillips [3] dona la següent expressió de la funció característica de : on és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe.[4] Vegeu Johnson et al.[1] per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.
Sigui . Llavors té moment d'ordre si i només si . En aquest cas,
En particular, si , llavors te esperança i val
Si , te moment de 2n ordre
i
Prova
Atès que i són positives i independents, tenim que
D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat, D'altra banda,
La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si , tenim que Si , aleshores la integral val infinit.
↑Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264 JSTOR2335882
↑National Institute of Standards and Technology. «Formula 13.4.4». A: Olver, F. W., Lozier, D., Boisvert R., Clark, C. W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8.
↑Lazo, A.V.; Rathie, P. «On the entropy of continuous probability distributions». IEEE Transactions on Information Theory. IEEE, 24, 1978, pàg. 120–122. DOI: 10.1109/tit.1978.1055832.