Distribució SU de Johnson

La distribució S_U de Johnson és una família de quatre paràmetres de distribució de probabilitats investigada per primera vegada per N. L. Johnson el 1949. Johnson la va proposar com una transformació de la distribució normal:

Distribució S_U de Johnson

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (real)
Suport	$-\infty {\text{ to }}+\infty$
fdp	${\frac {\delta }{\lambda {\sqrt {2\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}}$
FD	$\Phi \left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)$
Esperança matemàtica	$\xi -\lambda \exp {\frac {\delta ^{-2}}{2}}\sinh \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Mediana	$\xi +\lambda \sinh \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Variància	${\frac {\lambda ^{2}}{2}}(\exp(\delta ^{-2})-1)\left(\exp(\delta ^{-2})\cosh \left({\frac {2\gamma }{\delta }}\right)+1\right)$

$z=\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$

on $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

Generació de variables aleatòries

Sigui U una variable aleatòria que es distribueix uniformement en l'interval unitari [0, 1]. Les variables aleatòries S_U de Johnson poden generar-se a partir d'U de la manera següent:

$x=\lambda \sinh \left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi$

on Φ és la funció de distribució acumulada de la distribució normal.

Distribució S_B de Johnson

Norman Lloyd Johnson va ser el primer en proposar la transformació:

$z=\gamma +\delta \log \left({\frac {x-\xi }{\xi +\lambda -x}}\right)$

on $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

Les variables aleatòries S_B de Johnson es poden generar a partir d'U de la següent manera:

$x=\lambda \left(1+\exp \left(-{\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)\right)+\xi$

on Φ és la funció de distribució acumulada de la distribució normal. La distribució S_B de Johnson és convenient per a distribucions de Platykurtic (curtosi).

Bibliografia

• Hill, I. D.; Hill, R.; Holder, R. L. «Algorithm AS 99: Fitting Johnson Curves by Moments». Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), 25, 2, 1976.
• Jones, M. C.; Pewsey, A. «Sinh-arcsinh distributions». Biometrika, 96, 4, 2009, pàg. 761. DOI: 10.1093/biomet/asp053.(Preprint)
• Tuenter, Hans J. H. «An algorithm to determine the parameters of S_U-curves in the Johnson system of probability distributions by moment matching». The Journal of Statistical Computation and Simulation, 70, 4, novembre 2001, pàg. 325–347. DOI: 10.1080/00949650108812126.