En teoria de la probabilitat i en estadística , la distribució beta prima (també coneguda com la distribució beta invertida , distribució beta de segona classe o distribució beta II ) es una distribució de probabilitat absolutament contínua definida per
x
>
0
{\displaystyle x>0}
paràmetres , α i β , que té la funció de densitat de probabilitat :
f
(
x
)
=
{
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
si
x
>
0
0
sinó.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
on B és la funció beta .
La funció de distribució acumulada (FD) és
F
(
x
;
α
,
β
)
=
I
x
1
+
x
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}
on I és la funció beta incompleta regularitzada .
El valor esperat , la variància i altres detalls de la distribució es donen en la taula de la dreta; per
β
>
4
{\displaystyle \beta >4}
excés de curtosi és
γ
2
=
6
α
(
α
+
β
−
1
)
(
5
β
−
11
)
+
(
β
−
1
)
2
(
β
−
2
)
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
3
)
(
β
−
4
)
{\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}}
Si bé la distribució beta relacionada és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli s'expressa com una probabilitat, la distribució de beta prima és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli expressada en oportunitats . La distribució és una distribució de Pearson de tipus VI .
La moda d'una variable aleatòria X distribuïda com
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )}
X
^
=
α
−
1
β
+
1
{\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}
La seva mitjana és
α
β
−
1
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}
β
>
1
{\displaystyle \beta >1}
β
≤
1
{\displaystyle \beta \leq 1}
La seva variància és
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
2
)
(
β
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}
β
>
2
{\displaystyle \beta >2}
Per
−
α
<
k
<
β
{\displaystyle -\alpha <k<\beta }
moment
E
[
X
k
]
{\displaystyle E[X^{k}]}
E
[
X
k
]
=
B
(
α
+
k
,
β
−
k
)
B
(
α
,
β
)
.
{\displaystyle E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}
Per
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
k
<
β
,
{\displaystyle k<\beta ,}
E
[
X
k
]
=
∏
i
=
1
k
α
+
i
−
1
β
−
i
.
{\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}
La funció de distribució acumulada també es pot escriure
F
(
x
)
=
{
x
α
⋅
2
F
1
(
α
,
α
+
β
,
α
+
1
,
−
x
)
α
⋅
B
(
α
,
β
)
si
x
>
0
0
sinó.
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha }\cdot _{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
on
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
funció hipergeomètrica de Gauss ₂F1 .
La seva equació diferencial és:
(
x
2
+
x
)
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
(
−
α
+
β
x
+
x
+
1
)
=
0
,
f
(
1
)
=
2
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle \left(x^{2}+x\right)f'(x)+f(x)(-\alpha +\beta x+x+1)=0,\qquad f(1)={\frac {2^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}
Es poden afegir dos paràmetres més per a formar la distribució beta prima generalitzada .
p
>
0
{\displaystyle p>0}
forma (real)
q
>
0
{\displaystyle q>0}
escala (real)que té la funció de densitat de probabilitat
f
(
x
;
α
,
β
,
p
,
q
)
=
p
(
x
q
)
α
p
−
1
(
1
+
(
x
q
)
p
)
−
α
−
β
q
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{\alpha p-1}\left({1+{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{p}}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}
amb mitjana
q
Γ
(
α
+
1
p
)
Γ
(
β
−
1
p
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
si
β
p
>
1
{\displaystyle {\frac {q\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{p}})\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{si }}\beta p>1}
i moda
q
(
α
p
−
1
β
p
+
1
)
1
p
si
α
p
≥
1
{\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{si }}\alpha p\geq 1}
Si una variable aleatòria X segueix una distribució beta prima generalitzada, s'anotarà
X
∼
β
′
(
α
,
β
,
p
,
q
)
{\displaystyle X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,q)}
Si p=q=1, llavors la distribució beta prima generalitzada és igual a la distribució beta prima estàndard.
La distribució gamma composta és la generalització de la distribució beta prima quan el paràmetre d'escala q , s'afegeix, però on p = 1 . Es diu així perquè està format per la combinació de dues distribucions gamma :
β
′
(
x
;
α
,
β
,
1
,
q
)
=
∫
0
∞
G
(
x
;
α
,
p
)
G
(
p
;
β
,
q
)
d
p
{\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,p)G(p;\beta ,q)\;dp}
on G(x;a,b) és la distribució gamma amb una forma i escala inversa b . Aquesta relació es pot utilitzar per generar variables aleatòries amb una distribució gama composta o amb una distribució beta prima.
La moda, la mitjana i la variància de la distribució gama composta poden ser obtingudes multiplicant la moda i la mitjana que apareixen a la taula del principi per q i la variància per q² .
Si
X
∼
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
1
X
∼
β
′
(
β
,
α
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}
Si
X
∼
β
′
(
α
,
β
,
p
,
q
)
{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
k
X
∼
β
′
(
α
,
β
,
p
,
k
q
)
{\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}
β
′
(
α
,
β
,
1
,
1
)
=
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
Distribucions relacionades i propietats
modifica
Si
X
∼
F
(
2
α
,
2
β
)
{\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}
X
∼
β
′
(
α
,
β
,
1
,
α
β
)
{\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\alpha }{\beta }})}
α
β
X
∼
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
Si
X
∼
Beta
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}
X
1
−
X
∼
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
Si
X
∼
Γ
(
α
,
1
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,1)}
Y
∼
Γ
(
β
,
1
)
{\displaystyle Y\sim \Gamma (\beta ,1)}
X
Y
∼
β
′
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {X}{Y}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
Parametrització 1: Si
X
k
∼
Γ
(
α
k
,
θ
k
)
{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}
X
1
X
2
∼
β
′
(
α
1
,
α
2
,
1
,
θ
1
θ
2
)
{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}
Parametrització 2: Si
X
k
∼
Γ
(
α
k
,
β
k
)
{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}
X
1
X
2
∼
β
′
(
α
1
,
α
2
,
1
,
β
2
β
1
)
{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}
β
′
(
p
,
1
,
a
,
b
)
=
Dagum
(
p
,
a
,
b
)
{\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}
distribució de Dagum .
β
′
(
1
,
p
,
a
,
b
)
=
SinghMaddala
(
p
,
a
,
b
)
{\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}
distribució de Singh-Maddala .
β
′
(
1
,
1
,
γ
,
σ
)
=
LL
(
γ
,
σ
)
{\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}
distribució log-logística .La distribució beta prima és un cas especial de la distribució de Pearson de tipus VI.
La distribució de Pareto de tipus II està relacionada amb la distribució beta prima.
La distribució de Pareto de tipus IV està relacionada amb la distribució beta prima.
La distribució de Dirichlet invertida és una generalització de la distribució beta prima.
Dubey , Satya D. Compound gamma, beta and F distributions (vol. 16) (en anglès). Metrika, 1970. DOI 10.1007/BF02613934 Jonhnson , N.L; Kotz , S. Continuous Univariate Distributions (vol. 2) (en anglès), 1995. ISBN 0-471-58494-0 
![{\displaystyle E[X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcd54fe6c5cb4afbfcd7bd94c4778d13b8bbc3f)
![{\displaystyle E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c6530cfd83409026129cc40968169281f41081)
![{\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f1689a0ef95460a83f9f53462da32a9b1e8f04)
