Distribució de Conway–Maxwell–Poisson

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució de Conway–Maxwell–Poisson (CMP o COM–Poisson) és una distribució de probabilitat discreta que porta el nom de Richard W. Conway, William L. Maxwell i Siméon Denis Poisson que generalitza la distribució de Poisson afegint un paràmetre. modelar la sobredispersió i la subdispersió. És un membre de la família exponencial, té la distribució de Poisson i la distribució geomètrica com a casos especials i la distribució de Bernoulli com a cas límit.

Conway–Maxwell–Poisson

Funció de probabilitat màssica
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	família exponencial i distribució univariant
Paràmetres	$\lambda >0,\nu \geq 0$
Suport	$x\in \{0,1,2,\dots \}$
fpm	${\frac {\lambda ^{x}}{(x!)^{\nu }}}{\frac {1}{Z(\lambda ,\nu )}}$
FD	$\sum _{i=0}^{x}\Pr(X=i)$
Esperança matemàtica	$\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {j\lambda ^{j}}{(j!)^{\nu }Z(\lambda ,\nu )}}$
Mediana	-
Moda	vegeu text
Variància	$\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {j^{2}\lambda ^{j}}{(j!)^{\nu }Z(\lambda ,\nu )}}-\operatorname {mitjana} ^{2}$
Coeficient de simetria	-
Curtosi	-
Entropia	-
FGM	${\frac {Z(e^{t}\lambda ,\nu )}{Z(\lambda ,\nu )}}$
FC	${\frac {Z(e^{it}\lambda ,\nu )}{Z(\lambda ,\nu )}}$

Rerefons

La distribució CMP va ser proposada originalment per Conway i Maxwell el 1962 com una solució per gestionar sistemes de cua amb tarifes de servei depenent de l'estat. La distribució CMP va ser introduïda a la literatura estadística per Boatwright et al. 2003 i Shmueli et al. (2005). La primera investigació detallada sobre les propietats probabilístiques i estadístiques de la distribució va ser publicada per Shmueli et al. (2005). Alguns resultats de probabilitat teòrica de la distribució COM-Poisson són estudiats i revisats per Li et al. (2019), especialment les caracteritzacions de la distribució COM-Poisson.

Funció de massa de probabilitat

La distribució CMP es defineix com la distribució amb funció de massa de probabilitat

$P(X=x)=f(x;\lambda ,\nu )={\frac {\lambda ^{x}}{(x!)^{\nu }}}{\frac {1}{Z(\lambda ,\nu )}}.$

on:

$Z(\lambda ,\nu )=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{(j!)^{\nu }}}.$

La funció $Z(\lambda ,\nu )$ serveix com a constant de normalització, de manera que la funció de massa de probabilitat suma un. Tingues en compte que $Z(\lambda ,\nu )$ no té una forma tancada.