Distribució gamma normal

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució gamma normal (o distribució gamma gaussiana) és una família bivariada de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues. És l'a priori conjugat d'una distribució normal amb mitjana i precisió desconegudes.

Distribució gamma normal

Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$\mu \,$ localització (real) $\lambda >0\,$ (real) $\alpha >0\,$ (real) $\beta >0\,$ (real)
Suport	$x\in (-\infty ,\infty )\,\!,\;\tau \in (0,\infty )$
fdp	$f(x,\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }{\sqrt {\lambda }}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {2\pi }}}}\,\tau ^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,e^{-\beta \tau }\,e^{-{\frac {\lambda \tau (x-\mu )^{2}}{2}}}$
Esperança matemàtica	$\operatorname {E} (X)=\mu \,\!,\quad \operatorname {E} (\mathrm {T} )=\alpha \beta ^{-1}$
Moda	$\left(\mu ,{\frac {\alpha -{\frac {1}{2}}}{\beta }}\right)$
Variància	$\operatorname {var} (X)={\Big (}{\frac {\beta }{\lambda (\alpha -1)}}{\Big )},\quad \operatorname {var} (\mathrm {T} )=\alpha \beta ^{-2}$

Definició

Per a un parell de variables aleatòries, (X, T), suposem que la distribució condicional de X donada T ve donada per

$X\mid T\sim N(\mu ,1/(\lambda T))\,\!,$

significa que la distribució condicional és una distribució normal amb mitjana $\mu$ i precisió $\lambda T:$ — de manera equivalent, amb variància $1/(\lambda T).$ Suposem també que la distribució marginal de T ve donada per

$T\mid \alpha ,\beta \sim \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta ),$

on això vol dir que T té una distribució gamma. Aquí λ, α i β són paràmetres de la distribució conjunta.

Aleshores (X, T) té una distribució gamma normal, i aquesta es denota per

$(X,T)\sim \operatorname {NormalGamma} (\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta ).$

Propietats

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat conjunta de (X, T) és

$$f(x,\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }{\sqrt {\lambda }}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {2\pi }}}}\,\tau ^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,e^{-\beta \tau }\exp \left(-{\frac {\lambda \tau (x-\mu )^{2}}{2}}\right)$$

Moments de l'estadística natural

Els moments següents es poden calcular fàcilment mitjançant la funció generadora de moments de l'estadística suficient :

$\operatorname {E} (\ln T)=\psi \left(\alpha \right)-\ln \beta ,$ on $\psi \left(\alpha \right)$ és la funció digamma,

${\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&={\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX)&=\mu {\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX^{2})&={\frac {1}{\lambda }}+\mu ^{2}{\frac {\alpha }{\beta }}.\end{aligned}}$

Bibliografia

• Bernardo, J. M.; Smith, A. F. M.. Bayesian Theory (en anglès). Wiley, 1993. ISBN 0-471-49464-X.