Distribució t no central
En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució t no central generalitza la distribució t de Student mitjançant un paràmetre de no centralitat. Mentre que en un contrast d'hipòtesis d'igualtat de mitjanes en una població normal, la distribució t de Student descriu com es distribueix l'estadístic de contrast quan la hipòtesi nul.la es certa (igualtat de mitjanes), la distribució t no central ho fa quan la hipòtesi nul.la és falsa; llavors, és especialment important en el càlcul de la potència estadística d'un contrast.
Funció de densitat de probabilitat | |
Tipus | distribució univariant |
---|---|
Paràmetres | ν > 0 graus de llibertat paràmetre de no centralitat |
Suport | |
fdp | vegeu text |
FD | vegeu text |
Esperança matemàtica | si |
Variància | , si |
També s'utilitza en la modelització robusta de dades.[1][2]
Definicions modifica
Sigui una variable aleatòria normal estàndard i una variable aleatòria amb distribució khi quadrat amb graus de llibertat que és independent de . Es diu [3] que la variable aleatòria
té una distribució t no central amb graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ; s'escriu . Quan es té una distribució de Student ordinària . Tingueu en compte que el paràmetre de no centralitat pot ser negatiu.
Comentari sobre els graus de llibertat no enters. El cas habitual d'aquesta distribució és quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural, però tant des del punt de vista de les aplicacions com de la teoria, és convenient disposar d'aquesta distribució que pugui tenir qualsevol nombre estrictament positiu de graus de llibertat, . Això pot fer-ser gràcies a que una distribució khi quadrat està ben definida en aquesta situació.
Funció de densitat modifica
La funció de densitat de la distribució t no central no té una expressió senzilla i en veurem diverses formulacions que surten a la literatura. Sigui .
Expressió integral [4]
Expressió en sèrie [7]
Expressió en termes de funcions especials
Utlitizant la funció cilíndrica parabòlica ,[8] tenim [9]
Expressió en termes de la funció de distribució El programari estadístic R i altres programes estadístics utilitzen la següent expressió per calcular la funció de densitat:[11]
Escrivim
Expressió en sèrie. Retornem a l'expressió (*), que equival a
Expressions en termes de funcions especials. La fórmula (3) es dedueix de la fórmula (1) utilitzant la representació integral de la funció cilíndrica parabòlica :[12] per a ,
Funció de distribució modifica
La funció de distribució de la distribució t no central amb graus de llibertat i el paràmetre de no centralitat es pot expressar com [16][17]
i és la funció de distribució de la distribució normal estàndard. Cal notar que només depèn de i per tant en (6), per a és indistint posar o .
Per a , tenim
Aplicant la fórmula de duplicació i simplificant, i ajuntant tots els termes del sumatori, s'obté multiplicant l'expressió de la dreta de (2), amb la qual cosa es demostra (5) quan .
Per a , pels càlculs que acabem de ferm, tenim que
Moments modifica
El moment d'ordre d'una distribució no central és [20]
- on designa la derivada d'ordre k -èssim de la funció .
En particular, la mitjana i la variància són
Aplicació al càlcul de la potència del contrast t de Student modifica
Vegeu Johnson and Welch .[21] Sigui una mostra d'una població normal , és a dir, les variables aleatòries són independents i totes tenen distribució . Fixem un número . Volem contrastar
Donat un valor (per tant, de la hipòtesi alternativa), podem calcular la potència del test, és a dir, la probabilitat de rebutjat la hipòtesi nul.la quan és falsa) en aquest punt de la següent manera: escrivim
- Si suposem , llavors .
- Tenim que
- Les variables aleatòries dels punts 1 i 2 són independents (vegeu l'article sobre la distribució khi quadrat) .
En conseqüència, si , . Llavors, la potència del test en el punt serà
Ús en intervals de tolerància modifica
Els intervals de tolerància normals unilaterals tenen una solució exacta en termes de la mitjana mostral i la variància mostral basada en la distribució t no central.[22] Això permet calcular un interval estadístic dins del qual, amb un cert nivell de confiança, es troba una proporció especificada d'una població mostrada.
Referències modifica
- ↑ «Lecture 13: Noncentral χ2-, t-, and F-distributions» (en anglès). https://pages.stat.wisc.edu.+[Consulta: 3 juliol 2023].
- ↑ «Non-Central Distribution» (en anglès). https://www.statisticshowto.com.+[Consulta: 3 juliol 2023].
- ↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995, p. 508. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ Scharf, Louis. Statistical signal processing: detection, estimation, and time series analysis. transferred to digital print on demand 2002; reprinted with corrections July, 1991. Reading, Massachusetts Wokingham Amsterdam: Addison-Wesley, 2002, p. 177. ISBN 978-0-201-19038-0.
- ↑ Hogben, D.; Pinkham, R. S.; Wilk, M. B. «The moments of the non-central t-distribution» (en anglès). Biometrika, 48, 3-4, 1961, pàg. 465–468. DOI: 10.1093/biomet/48.3-4.465. ISSN: 0006-3444.
- ↑ Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha. «Section 23.081». A: Methods of mathematical physics. 3. ed.; 1. paperback ed., reprinted 2001. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. ISBN 978-0-521-66402-8.
- ↑ Craig, Cecil C. «Note on the Distribution of Non-Central $t$ with an Application» (en anglès). The Annals of Mathematical Statistics, 12, 2, 1941-06, pàg. 224–228. DOI: 10.1214/aoms/1177731752. ISSN: 0003-4851.
- ↑ National Institute of Standards and Technology. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8. Vegeu la pàgina web «NIST Handbook of Mathematical Functions: §12.2 Differential Equations ‣ Properties ‣ Chapter 12 Parabolic Cylinder Functions». [Consulta: 9 gener 2024]. Especialment la fórmula 12.5.1
- ↑ Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. «New asymptotic representations of the noncentral t ‐distribution». Studies in Applied Mathematics, 151, 3, 2023-10, pàg. 857–882, fórmula 2.12. DOI: 10.1111/sapm.12609. ISSN: 0022-2526.
- ↑ «títol=NIST Handbook of Mathematical Functions: Chapter 13 Confluent Hypergeometric Functions». [Consulta: 9 gener 2024].
- ↑ «R: The Student t Distribution». [Consulta: 28 desembre 2023].
- ↑ «NIST Handbook of Mathematical Functions: §12.5 Integral Representations ‣ Properties ‣ Chapter 12 Parabolic Cylinder Functions». [Consulta: 10 gener 2024].
- ↑ «12.4.1, NIST Handbook of Mathematical Functions: §12.4 Power-Series Expansions ‣ Properties ‣ Chapter 12 Parabolic Cylinder Functions». [Consulta: 10 gener 2024].
- ↑ «12.7.12 i 12.7.13 , NIST Handbook of Mathematical Functions: §12.7 Relations to Other Functions ‣ Properties ‣ Chapter 12 Parabolic Cylinder Functions». [Consulta: 10 gener 2024].
- ↑ «12.2.6 i 12.2.7, NIST Handbook of Mathematical Functions: §12.2 Differential Equations ‣ Properties ‣ Chapter 12 Parabolic Cylinder Functions». [Consulta: 10 gener 2024].
- ↑ Lenth, Russell V Journal of the Royal Statistical Society, Series C, 38, 1, 1989, pàg. 185–189. JSTOR: 2347693.
- ↑ Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. «New asymptotic representations of the noncentral t ‐distribution». Studies in Applied Mathematics, 151, 3, 2023-10, pàg. 857–882, fórmules (1.1) i (1.2). DOI: 10.1111/sapm.12609. ISSN: 0022-2526.
- ↑ Craig, Cecil C. «Note on the Distribution of Non-Central t with an Application». The Annals of Mathematical Statistics, 12, 2, 1941, pàg. 224–228. ISSN: 0003-4851.
- ↑ Temme, Nico M. Special functions: an introduction to the classical functions of mathematical physics. New York Chichester Brisbane [etc.]: J. Wiley and sons, 1996, p. 289, fórmula (11.37). ISBN 978-0-471-11313-3.
- ↑ Hogben, D; Pinkham, RS; Wilk, MB «The moments of the non-central t-distribution». Biometrika, 48, 3–4, 1961, pàg. 465–468. DOI: 10.1093/biomet/48.3-4.465. JSTOR: 2332772.
- ↑ Johnson, N. L.; Welch, B. L. «Applications of the Non-Central t-Distribution». Biometrika, 31, 3/4, 1940, pàg. 362–389. DOI: 10.2307/2332616. ISSN: 0006-3444.
- ↑ Owen, D. B. «A Survey of Properties and Applications of the Noncentral t-Distribution». Technometrics, 10, 3, 1968, pàg. 445–478. DOI: 10.2307/1267101. ISSN: 0040-1706.