Obre el menú principal

Llista de fórmules amb π

article de llista de Wikimedia

Geometria clàssicaModifica

 

on L és la longitud d'una circumferència de diàmetre d.

 

on A és l'àrea d'un cercle de radi r.

 

on V és el volum d'una esfera de radi r.

 

on S és la superfície exterior d'una esfera de radi r.

FísicaModifica

 


 


 


 


 


  • Període d'un pèndol simple d'amplitud petita:
 


 

IdentitatsModifica

IntegralsModifica

 


 


 


 


  (forma integral de l'arctangent al llarg de tot el seu domini).


  (veure Integral de Gauß).


  (Vegeu també fórmula de la integral de Cauchy)


 


 


Sèries infinites eficientsModifica

 


 


  (veure Srinivasa Ramanujan)


 [1]


Les següents identitats són útils per calcular dígits binaris arbitraris de π:

 


 


Altres sèries infinitesModifica

    (vegeu també el problema de Basilea i la funció zeta de Riemann)


 


 , on B2n és un nombre de Bernoulli.


 [2]


    (sèrie de Leibniz)


 


 


 


 


 


    (Euler, 1748)
Després dels dos primers termes, els signes vénen determinats de la següent manera: si el denominador és un nombre primer de la forma 4m - 1, el signe és positiu; si el denominador és un nombre primer de la forma 4m + 1, es signe és negatiu; per nombres compostos,el signe és igual al producte dels signes dels factors.[3]

Fórmules de MachinModifica

  (la fórmula original de Machin)


 


  (d'Euler)


  (de Hermann)


  (de Hutton o de Vega[4])


 


 


 


 

on   és l'enèssim nombre de Fibonacci.

Algunes sèries infinitesModifica

Algunes sèries infinites relacionades amb pi són:[5]

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

on

 

és el símbol de Pochhammer del factorial decreixent.

Productes infinitsModifica

  (Euler)
on els numeradors són els nombres primers senars; i cada denominador és el múltiple de 4 més proper al numerador.
 


Fórmula de Vieète:

 

Fraccions contínuesModifica

 


 


 

(vegeu també fracció contínua)

Miscel·laniModifica

  (aproximació de Stirling)


  (Identitat d'Euler)


  (veure Funció φ d'Euler)


  (veure Funció φ d'Euler)


  (veure trambé funció Gamma)


  (on agm és la Mitjana aritmètico-geomètrica)


  (on mod és la funció mòdul, que dóna el residu de la divisió de n entre k)


  (sumatori de Riemann per avaluar l'àrea d'un cercle unitat)


  (a través de l'aproximació de Stirling)

ReferènciesModifica

  1. Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
  2. Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
  3. Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
  4. Carl Størmer «Solution complète en nombres entiers de l'équation  » (en francès). Bulletin de la S.M.F., 27, 1899, pàg. 160–170.
  5. Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. [Consulta: 29 gener 2011].
    «Collection of series for Plantilla:Pi». Numbers.computation.free.fr. [Consulta: 29 gener 2011].