Llista de fórmules amb π
article de llista de Wikimedia
A continuació es mostra una llista de fórmules que tenen a veure amb la constant matemàtica π.
Geometria clàssica
modificaon L és la longitud d'una circumferència de diàmetre d.
on A és l'àrea d'un cercle de radi r.
on V és el volum d'una esfera de radi r.
on S és la superfície exterior d'una esfera de radi r.
Física
modifica
- Les equacions de camp d'Einstein de la relativitat general:
- La llei de Coulomb de la força elèctrica:
- Permeabilitat magnètica en el buit:
- Període d'un pèndol simple d'amplitud petita:
- La fórmula del vinclament:
Identitats
modificaIntegrals
modifica
- (forma integral de l'arctangent al llarg de tot el seu domini).
- (veure Integral de Gauß).
- (Vegeu també fórmula de la integral de Cauchy)
Sèries infinites eficients
modifica
- (veure Srinivasa Ramanujan)
Les següents identitats són útils per calcular dígits binaris arbitraris de π:
Altres sèries infinites
modifica- (vegeu també el problema de Basilea i la funció zeta de Riemann)
- , on B2n és un nombre de Bernoulli.
- (sèrie de Leibniz)
- (Euler, 1748)
- Després dels dos primers termes, els signes venen determinats de la següent manera: si el denominador és un nombre primer de la forma 4m - 1, el signe és positiu; si el denominador és un nombre primer de la forma 4m + 1, es signe és negatiu; per nombres compostos,el signe és igual al producte dels signes dels factors.[3]
Fórmules de Machin
modifica- (la fórmula original de Machin)
- (d'Euler)
- (de Hermann)
- (de Hutton o de Vega[4])
on és l'enèssim nombre de Fibonacci.
Algunes sèries infinites
modificaAlgunes sèries infinites relacionades amb pi són:[5]
on
és el símbol de Pochhammer del factorial decreixent.
Productes infinits
modifica- (Euler)
- on els numeradors són els nombres primers senars; i cada denominador és el múltiple de 4 més proper al numerador.
Fórmula de Vieète:
Fraccions contínues
modifica
(vegeu també fracció contínua)
Miscel·lani
modifica- (aproximació de Stirling)
- (veure Funció φ d'Euler)
- (veure Funció φ d'Euler)
- (veure trambé funció Gamma)
- (on agm és la Mitjana aritmètico-geomètrica)
- (on mod és la funció mòdul, que dona el residu de la divisió de n entre k)
- (sumatori de Riemann per avaluar l'àrea d'un cercle unitat)
- (a través de l'aproximació de Stirling)
Referències
modifica- ↑ Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
- ↑ Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
- ↑ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
- ↑ Carl Størmer «Solution complète en nombres entiers de l'équation » (en francès). Bulletin de la S.M.F., 27, 1899, pàg. 160–170.
- ↑ Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. [Consulta: 29 gener 2011].
«Collection of series for Plantilla:Pi». Numbers.computation.free.fr. [Consulta: 29 gener 2011].