Distribució khi quadrat no central
En Teoria de la Probabilitat i Estadística, la distribució khi quadrat no central (o distribució no central) és una generalització de la distribució khi quadrat incorporant un paràmetre que s'anomena de no centrament. Sovint sorgeix en l'anàlisi de potència de contrast d'hipòtesis estadístiques en què la distribució nul·la és (potser asimtòticament) una distribució khi quadrat; exemples importants d'aquestes proves són les prova de raó de versemblança.[1]
![]() | |
Funció de distribució de probabilitat ![]() | |
Tipus | Densitat |
---|---|
Paràmetres | graus de llibertat paràmetre de no centralitat |
Suport | |
fdp | |
FD | on és la Funció Q de Marcum |
Esperança matemàtica | |
Variància | |
Coeficient de simetria | |
Curtosi | |
FGM | |
FC |
Definicions
modificaCom el el cas de la distribució ordinària començarem pel cas que el nombre de graus de llibertat sigui un nombre enter positiu i després, mitjançant la funció de densitat ho estendrem a qualsevol nombre de graus de llibertat .Siguin variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes respectivament i totes amb variància 1: . Aleshores es diu que la variable aleatòria
té una distribució khi-quadrat no central amb graus de llibertat i paràmetre de no centralitat [2] S'escriu . Si , aleshores té una distribució ordinària amb graus de llibertat: .
Equivalentment, es pot definir la distribució com la distribució de la suma on són variables aleatòries independents, totes amb distribució normal estàndard .
Nota: Algunes referències defineixen el paràmetre de no centralitat d'altres maneres, com la meitat de la suma o la seva arrel quadrada.
Funció de densitat
modificaLa funció de densitat de probabilitat (pdf) ve donada per [3][4]
on es distribueix com una amb graus de llibertat, i és l seva funció de densitat: on és la funció gamma d'Euler.
És a dir, la distribució és una mixtura de distribucions , amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre .
1r. pas. Demostrarem la descomposició on , , i són independents, i vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).
2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de .
3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.
4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de .
1r. pas. Escrivim El nostre objectiu és veure que tenim on , i llavors definirem Partim de les variables independents, amb . Considerem el vector aleatori normal multidimensional on vol dir la transposada de la matriu o vector , i és la matriu identitat de dimensió . Notem que Considerem una matriu ortogonal tal que la seva primera fila sigui . Aquesta matriu pot construir-se partint del vector , ampliant-ho a una base de , ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu , d'on s'obté l'expressió (1).
2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de . La variable aleatòria és la transformació d'una variable mitjançant la funció donada per ; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives: definides ambdues per Les inverses respectives són Aleshores la funció de densitat de és 3r. pas. Identificació de la distribució de com una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson.
Designarem per la funció de densitat d'una distribució . Notem que per una distribució tenim D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és Aleshores, Per tant, En conseqüència, és una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre .
"4t." pas. Càlcul de la funció de densitat de . Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per la funció generatriu d'una variable aleatòria : Escrivim els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre . Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de és Donada la independència entre i (vegeu el primer pas), tindrem que i atès que , . Fent les operacions corresponents arribem a que
Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre . Llavors, la funció de densitat de ésExpressió alternativa de la funció de densitat
modificaLa funció de densitat també es pot escriure on és la funció de Bessel modificada de primer tipus,
D'altra banda, val
i només cal reagrupar els termes a
Extensió a un nombre de graus de llibertat no enter
modificaLa funció (*) està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol . Per tant, podem definir una variable amb com aquella que té per funció de densitat (*).[3] Naturalment, es perd la interpretació com al nombre de sumands independents.
Moments, funció generatriu de moments i funció característica
modificaEls moments es poden calcular utilitzant les propietats de les mixtures de distribucions. Sigui i . Designem per els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre : Aleshores, atès que una distribució khi-quadrat té moments de tots els ordres, tindrem que la distribució khi-quadrat no central també, i Per exemple, per a , i llavors De manera anàloga, es calcula d'on La funció generatriu de moments també es pot calcular de la mateixa forma: Designem per la funció generatriu de moments d'una variable aleatòria , Si , Llavors, per a , Anàlogament, la funció característica dona
Una propietat de les formes quadràtiques en variables normals
modificaAquesta propietat, que té interès per ella mateixa, és el fonament de la utilització de la distribució en l'estudi de la potència d'un test sobre la mitjana d'una població normal multivariable, segon veurem en un exemple.
Propietat. Considerem un vector aleatori normal multivariable amb . Aleshores:[5]
- .
- , amb .
Exemple. Muirhead.[5] Considerem un contrast d'hipòtesis sobre la mitjana d'una població normal multivariable amb matriu de variàncies-covariàncies coneguda. Sigui una mostra d'una distribució . Llavors Fixem . Anem a fer el contrast Com a estadístic de contrast utilitzarem Fixem un nivell de significació del test Atès que, per la primera part de la propietat anterior, sota , , rebutjarem si on és el nombre tal que Si no és veritat, Per tant, per la segona part de la propietat anterior, Per tant, la potència del test és funció de :
Ocurrència i aplicacions
modificaEs poden obtenir intervals de tolerància de regressió normal a dues cares basant-se en la distribució khi quadrat no central. Això permet calcular un interval estadístic dins del qual, amb un cert nivell de confiança, es troba una proporció especificada d'una població mostrada.[8]
Referències
modifica- ↑ Patnaik, P. B. Biometrika, 36, 1/2, 1949, pàg. 202–232. DOI: 10.2307/2332542. ISSN: 0006-3444.
- ↑ «Noncentral Chi-Squared Distribution» (en anglès). https://valelab4.ucsf.edu.+[Consulta: 5 juliol 2023].
- ↑ 3,0 3,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995, p. 436. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ «Noncentral Chi-Square Distribution - MATLAB & Simulink» (en anglès). https://www.mathworks.com.+[Consulta: 5 juliol 2023].
- ↑ 5,0 5,1 Muirhead, Robb John. Aspects of multivariate statistical theory. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2005, p. 26-27. ISBN 978-0-471-76985-9.
- ↑ Seber, George Arthur Frederick. A matrix handbook for statisticians. Hoboken (N.J.): J. Wiley, 2008, p. 221. ISBN 978-0-471-74869-4.
- ↑ No hi ha ambigüitat en la notació ja que . Vegeu la referència anterior Seber, 2008, pàgina 221, item 10.8 (f)
- ↑ «Noncentral chi-square distribution» (en anglès). http://www.math.wm.edu.+[Consulta: 5 juliol 2023].