et al. .
Sigui
Z
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}
variable aleatòria normal estàndard i
Q
∼
χ
2
(
ν
)
{\displaystyle Q\sim \chi ^{2}(\nu )}
distribució
χ
2
{\displaystyle {\ce {\chi^2}}}
ν
{\displaystyle \nu }
Z
{\displaystyle Z}
Q
{\displaystyle Q}
T
=
Z
Q
/
ν
{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {Q/\nu }}}}
t
{\displaystyle t}
ν
{\displaystyle \nu }
graus de llibertat i s'escriu
T
∼
t
(
ν
)
{\displaystyle T\sim t(\nu )}
T
∼
t
ν
{\displaystyle T\sim t_{\nu }}
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució
χ
2
{\displaystyle {\ce {\chi^2}}}
ν
{\displaystyle \nu }
ν
{\displaystyle \nu }
χ
2
{\displaystyle {\ce {\chi^2}}}
graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu
ν
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle {\ce {\nu \in (0,\infty )}}}
[2]
t
{\displaystyle t}
ν
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle {\ce {\nu \in (0,\infty )}}}
llenguatge R , utilitza graus de llibertat fraccionaris en certs tests estadístics.
La funció de densitat de la distribució
t
{\displaystyle t}
ν
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \nu \in (0,\infty )}
f
(
x
)
=
Γ
(
ν
+
1
2
)
π
ν
Γ
(
ν
2
)
(
1
+
x
2
ν
)
−
ν
+
1
2
,
x
∈
R
,
(
1
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu +1}{2}}{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,\qquad (1)}
on
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
funció gamma .
Utilitzant la funció Beta
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\text{B}}(x,y)}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma {\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\sqrt {\pi }}}
f
(
x
)
=
1
ν
B
(
1
2
,
ν
2
)
(
1
+
x
2
ν
)
−
ν
+
1
2
.
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,{\text{B}}{\big (}{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}.}
Funció parella. Cal remarcar que aquesta funció és parella :
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=f(x)}
Prova
El càlcul de la funció de densitat de
T
{\displaystyle T}
es fa mitjançant la fórmula de canvi de variables per a
vectors aleatoris . Concretament, amb les notacions que hem introduït a la definició de
T
{\displaystyle T}
, considerem la funció
h
{\displaystyle h}
que transforma el vector
(
Z
,
Q
)
{\displaystyle (Z,Q)}
en el vector
(
T
,
Q
)
{\displaystyle (T,Q)}
:
h
(
z
,
y
)
=
(
t
,
y
)
,
amb
t
=
z
y
/
ν
.
{\displaystyle h(z,y)=(t,y),\quad {\text{amb}}\quad t={\frac {z}{\sqrt {y/\nu }}}.}
La transformació inversa és
g
(
t
,
y
)
=
(
t
y
/
ν
,
y
)
.
{\displaystyle g(t,y)={\big (}t{\sqrt {y/\nu }},y{\big )}.}
El determinant jacobià d'aquesta transformació és
J
g
(
t
,
y
)
=
y
/
ν
.
{\displaystyle J_{g}(t,y)={\sqrt {y/\nu }}.}
D'altra banda, degut a que
Z
{\displaystyle Z}
i
Q
{\displaystyle Q}
són independents, la densitat conjunta del vector
(
Z
,
Q
)
{\displaystyle (Z,Q)}
és el producte de les funcions de densitat:
f
(
Z
,
Q
)
(
z
,
y
)
=
1
2
π
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
e
−
(
z
2
+
y
)
/
2
y
ν
/
2
−
1
.
{\displaystyle f_{(Z,Q)}(z,y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,e^{-(z^{2}+y)/2}\,y^{\nu /2-1}.}
Llavors, la densitat conjunta de
(
T
,
Q
)
{\displaystyle (T,Q)}
és
f
(
T
,
Q
)
(
t
,
y
)
=
1
2
π
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
e
−
y
(
1
+
t
2
/
ν
)
/
2
y
ν
/
2
−
1
y
ν
=
1
2
π
ν
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
e
−
y
(
1
+
t
2
/
ν
)
/
2
y
(
ν
−
1
)
/
2
.
{\displaystyle f_{(T,Q)}(t,y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,y^{\nu /2-1}{\sqrt {\frac {y}{\nu }}}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \nu }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,y^{(\nu -1)/2}.}
La densitat (marginal) de
T
{\displaystyle T}
és
f
T
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
T
,
Q
)
(
t
,
y
)
d
y
=
1
2
π
ν
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
∫
0
∞
y
(
ν
−
1
)
/
2
e
−
y
(
1
+
t
2
/
ν
)
/
2
d
y
=
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
π
ν
Γ
(
ν
/
2
)
(
1
+
t
2
ν
)
−
(
ν
+
1
)
/
2
,
{\displaystyle f_{T}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(T,Q)}(t,y)\,dy={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \nu }}\,2^{\nu /2}\,\Gamma (\nu /2)}}\,\int _{0}^{\infty }y^{(\nu -1)/2}\,e^{-y(1+t^{2}/\nu )/2}\,dy={\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma (\nu /2)}}{\Big (}1+{\frac {t^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2},}
on, per calcular la integral, hem fet el canvi de variable
y
(
1
+
t
2
/
ν
)
/
2
=
u
{\displaystyle y(1+t^{2}/\nu )/2=u}
i hem utilitzat la
funció gamma .
Quan
ν
{\displaystyle \nu }
ν
=
1
{\displaystyle \nu =1}
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
ν
π
Γ
(
ν
/
2
)
=
Γ
(
1
)
π
Γ
(
1
/
2
)
=
1
π
.
{\displaystyle {\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {\Gamma (1)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (1/2)}}={\frac {1}{\pi }}.}
f
(
x
)
=
1
π
1
1
+
x
2
,
x
∈
R
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {1}{1+x^{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,}
distribució de Cauchy (centrada en l'origen).
Per a
ν
≥
3
{\displaystyle \nu \geq 3}
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
ν
π
Γ
(
ν
/
2
)
=
(
ν
−
1
)
(
ν
−
3
)
⋯
4
⋅
2
π
ν
(
ν
−
2
)
(
ν
−
4
)
⋯
5
⋅
3
=
(
ν
−
1
)
!
!
π
ν
(
ν
−
2
)
!
!
,
{\displaystyle {\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3}}={\frac {(\nu -1)!!}{\pi {\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)!!}},}
k
!
!
{\displaystyle k!!}
doble factorial del nombre
k
{\displaystyle k}
Per a
ν
{\displaystyle \nu }
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
ν
π
Γ
(
ν
/
2
)
=
(
ν
−
1
)
(
ν
−
3
)
⋯
5
⋅
3
2
ν
(
ν
−
2
)
(
ν
−
4
)
⋯
4
⋅
2
=
(
ν
−
1
)
!
!
2
ν
(
ν
−
2
)
!
!
,
{\displaystyle {\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2}}={\frac {(\nu -1)!!}{2{\sqrt {\nu }}\,(\nu -2)!!}}\,,}
0
!
!
{\displaystyle 0!!}
Quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural, la funció de distribució es pot donar explícitament en termes de funcions elementals, amb una expressió que es complica a l'augmentar els graus de llibertat.
ν
{\displaystyle \nu }
Funció de densitat
Funció de distribució
1
1
π
(
1
+
t
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}}
1
2
+
1
π
arctan
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)}
2
1
2
2
(
1
+
t
2
2
)
3
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}}
1
2
+
t
2
2
1
+
t
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}}
3
2
π
3
(
1
+
t
2
3
)
2
{\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}}
1
2
+
1
π
[
1
3
t
1
+
t
2
3
+
arctan
(
t
3
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}}
4
3
8
(
1
+
t
2
4
)
5
/
2
{\displaystyle {\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}}
1
2
+
3
8
t
1
+
t
2
4
[
1
−
1
12
t
2
1
+
t
2
4
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}}
5
8
3
π
5
(
1
+
t
2
5
)
3
{\displaystyle {\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}}
1
2
+
1
π
[
t
5
(
1
+
t
2
5
)
(
1
+
2
3
(
1
+
t
2
5
)
)
+
arctan
(
t
5
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}}
Prova
El càlcul de la funció de distribució es redueix a calcular una integral de la forma
∫
1
(
1
+
x
2
/
a
)
n
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+x^{2}/a)^{n}}}\,dx}
, amb
a
>
0
{\displaystyle a>0}
i
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
o
∫
1
(
1
+
x
2
/
a
)
m
/
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+x^{2}/a)^{m/2}}}\,dx}
amb
a
>
0
{\displaystyle a>0}
i
m
≥
3
{\displaystyle m\geq 3}
un nombre senar . En ambdós casos, mitjançant el canvi
x
=
a
y
{\displaystyle x={\sqrt {a}}\,y}
n'hi ha prou amb considerar
a
=
1
{\displaystyle a=1}
.
Tenim que
∫
1
1
+
y
2
d
y
=
arctan
y
+
C
,
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+y^{2}}}\,dy=\arctan y+C,}
i per a
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
∫
1
(
1
+
y
2
)
n
d
y
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n}}}\,dy}
[3]
∫
1
(
1
+
y
2
)
n
d
y
=
1
2
n
−
2
y
(
1
+
y
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
2
n
−
2
∫
1
(
1
+
y
2
)
n
−
1
d
y
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n}}}\,dy={\frac {1}{2n-2}}{\frac {y}{(1+y^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{n-1}}}\,dy.}
La integral
∫
1
(
1
+
y
2
)
m
/
2
d
y
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+y^{2})^{m/2}}}\,dy}
per a
m
≥
3
{\displaystyle m\geq 3}
senar, mitjançant el canvi
y
=
tan
u
{\displaystyle y=\tan u}
es converteix en una integral de la forma
∫
cos
k
u
d
u
{\textstyle \int \cos ^{k}u\,du}
, que es pot calcular iterativament (vegeu la
fórmula de la integral d'una potència del cosinus ), i acaba donant
[3] :
∫
1
(
1
+
y
2
)
m
/
2
d
y
=
y
(
m
−
2
)
(
1
+
y
2
)
(
m
−
2
)
/
2
+
m
−
3
m
−
2
∫
1
(
1
+
y
2
)
(
m
−
2
)
/
2
d
y
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+y^{2})^{m/2}}}\,dy={\frac {y}{(m-2)(1+y^{2})^{(m-2)/2}}}+{\frac {m-3}{m-2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{(m-2)/2}}}\,dy.}
Calculem, per exemple, la funció de distribució per a
ν
=
2
{\displaystyle \nu =2}
∫
1
(
1
+
x
2
/
2
)
3
/
2
d
x
=
2
∫
1
(
1
+
y
2
)
3
/
2
d
y
=
2
y
1
+
y
2
+
C
=
x
1
+
x
2
/
2
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1+x^{2}/2)^{3/2}}}\,dx={\sqrt {2}}\int {\frac {1}{(1+y^{2})^{3/2}}}\,dy={\sqrt {2}}\,{\frac {y}{\sqrt {1+y^{2}}}}+C={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}/2}}}+C.}
Llavors,
F
(
t
)
=
∫
−
∞
t
f
(
x
)
d
x
=
1
2
2
∫
−
∞
t
1
(
1
+
x
2
/
2
)
3
/
2
d
x
=
1
2
2
t
1
+
t
2
/
2
−
1
2
2
lim
s
→
−
∞
s
1
+
s
2
/
2
=
1
2
2
t
1
+
t
2
/
2
+
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F(t)&=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\int _{-\infty }^{t}{\frac {1}{(1+x^{2}/2)^{3/2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}/2}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\lim _{s\to -\infty }{\frac {s}{\sqrt {1+s^{2}/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}/2}}}+{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
modifica
Per al cas general podem escriure la funció de densitat en termes de la funció beta incompleta:
F
(
t
)
=
∫
−
∞
t
f
(
x
)
d
x
=
1
−
1
2
I
y
(
t
)
(
ν
2
,
1
2
)
,
t
≥
0
,
{\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx=1-{\frac {1}{2}}\,I_{y(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),\quad t\geq 0,}
y
(
t
)
=
ν
/
(
ν
+
t
2
)
{\displaystyle y(t)=\nu /(\nu +t^{2})}
I
x
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)}
Per a
t
<
0
{\displaystyle t<0}
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
Prova
Fixat
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
, tenim que
F
(
t
)
=
∫
−
∞
t
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
t
f
(
x
)
d
x
=
1
2
+
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
π
ν
Γ
(
ν
/
2
)
∫
0
t
(
1
+
x
2
ν
)
−
ν
+
1
2
d
x
,
{\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{0}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}f(x)\,dx={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\big (}\nu /2{\big )}}}\int _{0}^{t}{\Big (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx,}
on hem utilitzat la simetria respecte l'eix d'ordenades de la funció de densitat
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
. A la darrera integral fem el canvi
1
+
x
2
ν
=
1
y
,
{\displaystyle 1+{\frac {x^{2}}{\nu }}={\frac {1}{y}},}
amb la qual cosa aquesta integral queda
∫
0
t
(
1
+
t
2
ν
)
−
(
ν
+
1
)
/
2
d
x
=
−
ν
2
∫
1
ν
/
(
ν
+
t
2
)
y
(
ν
+
1
)
/
2
y
−
3
/
2
(
1
−
y
)
−
1
/
2
d
y
=
ν
2
∫
ν
/
(
ν
+
t
2
)
1
y
ν
/
2
−
1
(
1
−
y
)
1
/
2
−
1
d
y
=
ν
2
(
B
(
ν
2
,
1
2
)
−
B
(
ν
2
,
1
2
)
I
ν
/
(
ν
+
t
2
)
(
ν
2
,
1
2
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}{\Big (}1+{\frac {t^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2}\,dx&=-{\frac {\sqrt {\nu }}{2}}\int _{1}^{\nu /(\nu +t^{2})}y^{(\nu +1)/2}y^{-3/2}(1-y)^{-1/2}\,dy\\&={\frac {\sqrt {\nu }}{2}}\int _{\nu /(\nu +t^{2})}^{1}y^{\nu /2-1}(1-y)^{1/2-1}\,dy\\&={\frac {\sqrt {\nu }}{2}}{\Big (}B{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}-B{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}\,I_{\nu /(\nu +t^{2})}{\big (}{\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\Big )},\end{aligned}}}
on
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle B(a,b)}
és la funció Beta i és la funció Beta incompleta regularitzada
I
x
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)}
. D'on es dedueix la fórmula per a
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
.
També, per a
t
2
<
ν
{\displaystyle t^{2}<\nu }
funció hipergeomètrica
F
(
t
)
=
1
2
+
t
Γ
(
(
ν
+
1
)
/
2
)
π
ν
Γ
(
ν
/
2
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
(
ν
+
1
)
;
3
2
;
−
t
2
ν
)
,
{\displaystyle F(t)={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma {\big (}(\nu +1)/2{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\big (}\nu /2{\big )}}}\,{}_{2}\!F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}(\nu +1);{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {t^{2}}{\nu }}\right),}
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}\!F_{1}}
Sigui
n
{\displaystyle n}
Si
1
≤
n
<
ν
{\displaystyle 1\leq n<\nu }
E
[
T
n
]
=
{
0
,
si
n
és senar
,
ν
n
/
2
Γ
(
n
+
1
2
)
Γ
(
ν
−
n
2
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
ν
2
)
,
si
n
és parell
.
{\displaystyle E[T^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}},&{\text{si}}\ n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}
Si
n
≥
ν
{\displaystyle n\geq \nu }
E
[
|
T
n
|
]
=
∞
{\displaystyle E{\big [}\vert T^{n}\vert {\big ]}=\infty }
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
<
ν
{\displaystyle n<\nu }
E
[
T
n
]
=
ν
n
/
2
1
⋅
3
⋯
(
n
−
1
)
(
ν
−
n
)
(
ν
−
n
+
2
)
⋯
(
ν
−
2
)
=
ν
n
/
2
∏
i
=
1
n
/
2
2
i
−
1
ν
−
2
i
,
{\displaystyle E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\frac {1\cdot 3\cdots (n-1)}{(\nu -n)(\nu -n+2)\cdots (\nu -2)}}=\nu ^{n/2}\,\prod _{i=1}^{n/2}{\frac {2i-1}{\nu -2i}},}
ν
>
1
{\displaystyle \nu >1}
E
[
T
]
=
0
{\displaystyle E[T]=0}
ν
>
2
{\displaystyle \nu >2}
Var
(
T
)
=
E
[
T
2
]
=
ν
ν
−
2
.
{\displaystyle {\text{Var}}(T)=E[T^{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}.}
Prova
El càlcul dels moments és senzill si es parteix de la definició de la variable
T
{\displaystyle T}
i no de la funció de densitat. Comencem estudiant quan existeixen els moments de
T
{\displaystyle T}
. D'acord amb la seva definició i les notacions que hem introduït,
E
[
|
T
|
n
]
=
ν
n
/
2
E
[
|
Z
|
n
]
E
[
Q
−
n
/
2
]
,
{\displaystyle E{\big [}\vert T\vert ^{n}{\big ]}=\nu ^{n/2}\,E{\big [}\vert Z\vert ^{n}{\big ]}\,E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]},}
on hem utilitzat que
|
Z
|
{\displaystyle \vert Z\vert }
i
Q
{\displaystyle Q}
són independents i positives. Atès que una
variable normal té moments de tots els ordres, l'expressió anterior serà finita o no segons ho sigui
E
[
Q
−
n
/
2
]
{\displaystyle E[Q^{-n/2}]}
. Tenim que
E
[
Q
−
n
/
2
]
=
1
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
∫
0
∞
x
−
n
/
2
x
(
ν
/
2
)
−
1
e
−
x
/
2
d
x
=
1
2
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
∫
0
∞
x
(
ν
−
n
)
/
2
−
1
e
−
x
/
2
d
x
.
{\displaystyle E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]}={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{-n/2}x^{(\nu /2)-1}e^{-x/2}\,dx={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{(\nu -n)/2-1}e^{-x/2}\,dx.}
Fen el canvi
y
=
x
/
2
{\displaystyle y=x/2}
, la integral de la dreta dóna
2
(
ν
−
n
)
/
2
Γ
(
(
ν
−
n
)
/
2
)
{\displaystyle 2^{(\nu -n)/2}\Gamma ((\nu -n)/2)}
quan
(
ν
−
n
)
/
2
>
0
{\displaystyle (\nu -n)/2>0}
, i
+
∞
{\displaystyle +\infty }
en cas contrari.
Ara, per calcular els moments quan
(
ν
−
n
)
/
2
>
0
{\displaystyle (\nu -n)/2>0}
ν
>
n
{\displaystyle \nu >n}
variable normal estàndard tenim
E
[
Z
n
]
=
{
0
,
si
n
és senar
,
2
n
/
2
π
Γ
(
n
+
1
2
)
,
n
és parell
.
{\displaystyle E[Z^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {2^{n/2}}{\sqrt {\pi }}}\,\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )},&n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}
D'on
E
[
T
n
]
=
ν
n
/
2
Γ
(
n
+
1
2
)
Γ
(
ν
−
n
2
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
ν
2
)
.
{\displaystyle E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}.}
En aquesta secció considerem els graus de llibertat
ν
{\displaystyle \nu }
T
ν
∼
t
(
ν
)
{\displaystyle T_{\nu }\sim t(\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
T
ν
{\displaystyle T_{\nu }}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}
Prova
Considerem una successió de variables aleatòries
Z
,
Z
1
,
Z
2
,
…
,
{\displaystyle Z,Z_{1},Z_{2},\dots ,}
, independents, totes amb distribució normal estàndard
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}
. D'una banda, la successió
Z
1
2
,
Z
2
2
,
…
,
{\displaystyle Z_{1}^{2},Z_{2}^{2},\dots ,}
està formada per variables aleatòries independents, amb esperança
E
[
Z
i
2
]
=
1
{\displaystyle E[Z_{i}^{2}]=1}
; per la
llei forta dels grans nombres ,
lim
ν
→
∞
1
ν
∑
i
=
1
ν
Z
i
2
=
1
,
quasi segurament
.
{\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}=1,\quad {\text{quasi segurament}}.}
Llavors,
lim
ν
→
∞
Z
∑
i
=
1
ν
Z
i
2
/
ν
=
Z
,
quasi segurament
.
{\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}=Z,\quad {\text{quasi segurament}}.}
En conseqüència, per les relacions entre els diversos tipus de
convergència de variables aleatòries ,
lim
ν
→
∞
Z
∑
i
=
1
ν
Z
i
2
/
ν
=
Z
,
en distribució
.
{\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}=Z,\quad {\text{en distribució}}.}
Però, d'altra banda,
Z
∑
i
=
1
ν
Z
i
2
/
ν
∼
t
(
ν
)
,
{\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {\sum _{i=1}^{\nu }Z_{i}^{2}/\nu }}}\sim t(\nu ),}
que és el que volíem demostrar.
Alternativament, si designem per
f
ν
(
x
)
{\displaystyle f_{\nu }(x)}
t
(
ν
)
{\displaystyle t(\nu )}
f
ν
(
x
)
=
Γ
(
ν
+
1
2
)
π
ν
Γ
(
ν
2
)
(
1
+
x
2
ν
)
−
ν
+
1
2
,
{\displaystyle f_{\nu }(x)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu +1}{2}}{\big )}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}
aplicant les propietats asimptòtiques de la
funció gamma i calculant un límit del nombre
e
{\displaystyle e}
, es demostrar que
lim
ν
→
∞
f
ν
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
/
2
,
{\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }f_{\nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2},}
d'on, per les propietats de la
convergència en distribució, s'obté també l'aproximació normal a la distribució
t
(
ν
)
{\displaystyle t(\nu )}
.
Quan el nombre de graus de llibertat és una nombre natural, hi ha formules per la funció característica de la distribució de Student, que depenen de si els graus de llibertat son senars o parells, fórmules que cada cop són més complicades a l'augmentar el nombre de graus de llibertat. Una fórmula general utilitzant funcions especials va ser obtinguda el 1995 independentment per S. Hurst i A. H. Jorder (veieu [8]
T
∼
t
(
ν
)
{\displaystyle T\sim t(\nu )}
φ
(
t
)
=
E
[
e
i
t
T
]
=
K
ν
/
2
(
ν
|
t
|
)
(
ν
|
t
|
)
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
2
ν
/
2
−
1
,
{\displaystyle \varphi (t)=E[e^{itT}]={\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\,\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\nu /2-1}}},}
K
ν
(
x
)
{\displaystyle K_{\nu }(x)}
funció de Bessel modificada de segon tipus.
t de Student en Estadística
modifica
El paper central que té distribució
t
{\displaystyle t}
[9]
Teorema. Sigui
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
X
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
.
{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}
1
σ
2
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
∼
χ
2
(
n
−
1
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}\sim \chi ^{2}(n-1).}
Les variables aleatòries
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}}
Sigui
T
=
X
¯
−
μ
S
/
n
,
{\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}},}
on
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
,
{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2},}
variància mostral . Llavors,
T
∼
t
(
n
−
1
)
{\displaystyle T\sim t(n-1)}
Vegeu la pàgina de la distribució
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
X
¯
∼
N
(
μ
,
σ
2
/
n
)
{\displaystyle {\overline {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)}
t
{\displaystyle t}
Vegeu la pàgina Interval de confiança per a exemples concrets d'utilització de la distribució de Student.
modifica
La distribució
t
(
1
)
{\displaystyle t(1)}
distribució de Cauchy .
Si
T
∼
t
(
ν
)
{\displaystyle T\sim t(\nu )}
T
2
{\displaystyle T^{2}}
distribució
F
{\displaystyle F}
ν
{\displaystyle \nu }
T
2
∼
F
(
1
,
ν
)
{\displaystyle T^{2}\sim F(1,\nu )}
↑ Johnson , N. L.; Kotz , S.; Balakrishnan , N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1 ISBN 0-471-58495-9 ↑ 3,0 3,1 Gradshteĭn , I. S.. Table of integrals, series and products ISBN 978-0-12-373637-6 ↑ Gaunt , Robert E. «A simple proof of the characteristic function of Student’s t -distribution » (en anglès). Communications in Statistics - Theory and Methods , 50, 14, 18-07-2021, pàg. 3380–3383. DOI : 10.1080/03610926.2019.1702695 . ISSN : 0361-0926 .↑ DeGroot , Morris H. Probabilidad y estadística ISBN 0-201-64405-3
Johnson , N. L.; Kotz , S.; Balakrishnan , N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 . 2nd ed. New York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0 
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0afffc07f0c86a59eaa560dc8a3cf8f6fa83ccd)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8267697404a72109b22e9add73ef7023d1953235)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeef99bb2df092bdcc8c708cbc0c29cfe1849232)
![{\displaystyle E[T^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}},&{\text{si}}\ n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02a293e71c63f0843b6e2eb49dca5bd992cfdaa)
![{\displaystyle E{\big [}\vert T^{n}\vert {\big ]}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e1e06f572bfb47911ab07c88be48f3e4ee2de7)
![{\displaystyle E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\frac {1\cdot 3\cdots (n-1)}{(\nu -n)(\nu -n+2)\cdots (\nu -2)}}=\nu ^{n/2}\,\prod _{i=1}^{n/2}{\frac {2i-1}{\nu -2i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265816dfc1e5f302cd3ee717d69ffaa78da68290)
![{\displaystyle E[T]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bb980f5db991d84b0228e6d7834cfa202cd1ae)
![{\displaystyle {\text{Var}}(T)=E[T^{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82ba7c78e0b44433984bc600f5f31bfee46608d)
![{\displaystyle E{\big [}\vert T\vert ^{n}{\big ]}=\nu ^{n/2}\,E{\big [}\vert Z\vert ^{n}{\big ]}\,E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a94501f770219bff11963f02b646cf2e73e3113)
![{\displaystyle E[Q^{-n/2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca13a41b68cafc3b44518e406f3548732b650304)
![{\displaystyle E{\big [}Q^{-n/2}{\big ]}={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{-n/2}x^{(\nu /2)-1}e^{-x/2}\,dx={\frac {1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }x^{(\nu -n)/2-1}e^{-x/2}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6663587fd922ea8575e384d308de84fb26272e57)
![{\displaystyle E[Z^{n}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ n\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {2^{n/2}}{\sqrt {\pi }}}\,\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )},&n\ {\text{és parell}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367cb85fa98d887a40ecbfdf33137bc1321bf68b)
![{\displaystyle E[T^{n}]=\nu ^{n/2}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e72e3721fa66632d0169b4dd4cd4eee51e481e2)
![{\displaystyle E[Z_{i}^{2}]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df72a7dd03b416bfd1d8d031cca0683af5673567)
![{\displaystyle \varphi (t)=E[e^{itT}]={\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\,\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\nu /2-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1954c22dda6c042394c66102826a8ed8dd725cde)
