Identitats de càlcul vectorial

Les següents són identitats importants que impliquen derivades i integrals en el càlcul vectorial.

Càlcul infinitesimal

Generals

Teorema fonamental Límit d'una funció Funció contínua Càlcul vectorial Càlcul tensorial Teorema del valor mitjà

Derivació

Regla del producte Regla del quocient Regla de la cadena Teorema de Taylor Derivació implícita Taula de derivades

Integració

Taula d'integrals Integrals impròpies Tipus d'integració per: parts, discs, substitució, capes cilíndriques, ordre d'integració substitució trigonomètrica, fraccions racionals

Notació de l'operador

Gradient

Per a una funció $f(x,y,z)$ en variables de coordenades cartesianes tridimensionals, el gradient és el camp vectorial:

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

on i, j, k són els vectors unitaris estàndard per als eixos x, y, z. De manera més general, per a una funció de n variables $\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})$, també anomenat camp escalar, el gradient és el camp vectorial: $$\nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}$$ on $\mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)$ són vectors unitaris mútuament ortogonals.

Com el seu nom indica, el gradient és proporcional i apunta en la direcció del canvi més ràpid (positiu) de la funció.

Per a un camp vectorial $\mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)$, també anomenat camp tensor d'ordre 1, el gradient o derivada total és la matriu jacobiana n × n : $$\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.$$Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ de qualsevol ordre k, el gradient $\operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}$ és un camp tensor d'ordre k + 1.

Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 0, el camp tensor $\nabla \mathbf {T}$ d'ordre k + 1 es defineix per la relació recursiva $$(\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

Divergència

En coordenades cartesianes, la divergència d'un camp vectorial contínuament diferenciable $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ és la funció amb valors escalars: $$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$$Com el seu nom indica, la divergència és una mesura (local) del grau en què els vectors del camp divergeixen.

La divergència d'un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre diferent de zero k s'escriu com $\operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T}$, una contracció d'un camp tensor d'ordre k − 1. Concretament, la divergència d'un vector és un escalar. La divergència d'un camp tensor d'ordre superior es pot trobar descomponent el camp tensor en una suma de productes externs i utilitzant la identitat, $$\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T}$$ on $\mathbf {A} \cdot \nabla$ és la derivada direccional en la direcció de $\mathbf {A}$ multiplicat per la seva magnitud. Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $$\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .$$

Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\nabla \cdot \mathbf {T}$ d'ordre k − 1 es defineix per la relació recursiva $$(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

Rotacional

En coordenades cartesianes, per $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ el curl és el camp vectorial:

$${\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}$$

on i, j i k són els vectors unitaris dels eixos x -, y - i z -, respectivament.

Com el seu nom indica, el rínxol és una mesura de quant tendeixen els vectors propers en una direcció circular.

En notació d'Einstein, el camp vectorial $\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}$ té un rínxol donat per: $$\nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}$$ on $\varepsilon$ = ±1 o 0 és el símbol de paritat Levi-Civita.

Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\nabla \times \mathbf {T}$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $$(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

Un camp tensor d'ordre superior a un es pot descompondre en una suma de productes externs i, a continuació, es pot utilitzar la identitat següent: $$\nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).$$ Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $$\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).$$

Laplacià

En coordenades cartesianes, el laplacià d'una funció $f(x,y,z)$ és $$\Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.$$El laplacià és una mesura de quant canvia una funció en una petita esfera centrada en el punt.

Quan el laplacià és igual a 0, la funció s'anomena funció harmònica. És a dir, $$\Delta f=0.$$

Per a un camp tensor, $\mathbf {T}$, el laplacià s'escriu generalment com: $$\Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T}$$ i és un camp tensor del mateix ordre.

Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 0, el camp tensor $\nabla ^{2}\mathbf {T}$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $$\left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

Identitats de primera derivada

Per a camps escalars $\psi$, $\phi$ i camps vectorials $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, tenim les identitats derivades següents.

Propietats distributives

${\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}$

Propietats associatives

${\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}$

Regla de la cadena

Sigui $f(x)$ una funció d'una variable d'escalars a escalars, $\mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ una corba parametritzada, $\phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ una funció de vectors a escalars, i $\mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ un camp vectorial. Tenim els següents casos especials de la regla de la cadena multivariable.

${\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}$

Gràfic DCG: Algunes regles per a les segones derivades.

Identitats de segona derivada

Divergència del rotacional

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial A contínuament doblement diferenciable és sempre zero:

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$$La divergència del gradient és laplacià

El laplacià d'un camp escalar és la divergència del seu gradient: $$\Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )$$ El resultat és una magnitud escalar.

La divergència de la divergència no està definida

La divergència d'un camp vectorial A és un escalar i la divergència d'una magnitud escalar no està definida. Per tant, $$\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}$$

El rotacional del gradient és zero

El rotacional del gradient de qualsevol camp escalar contínuament dues vegades diferenciable $\varphi$ (és a dir, classe de diferenciabilitat $C^{2}$ ) és sempre el vector zero : $$\nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .$$

El rotacional del rotacional

Aquí ∇ ² és el vector laplacià que opera sobre el camp vectorial A.

$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A}$$