Usuari:Enricbraso/Absolute value

La gràfica de la funció valor absolut

El valor absolut d'un número real pot ser interpretat com  la seva distància al  zero.

En matemàtiques, el valor absolut o modul |x| d'un número real x és el seu valor sense considerar-li el signe. És a dir, ||x| = x  en el cas de nombres positius o zero, i |x| = −x en el cas de nombres negatius (llavors −x és positiu). Per exemple, el valor absolut de 3 és 3, i el valor absolut de −3 és també 3. El valor absolut d'un número pot ser pensat com la seva distància al zero.

En matemàtiques s'utilitzen altres generalitzacions del concepte valor absolut. Per exemple, existeixen formes de definir el valor absolut de números complexos, quaternions, anells ordenats, camps i espais vectorials. El concepte de valor absolut éstà relacionat amb les idees de magnitud, distància, i norma en diversos contextos matemàtics i físics.

Terminologia i notació

El 1806, Jean-Robert Argand va introduir el terme mòdul,  que significa en francès unitat de mesura, pels nombres complexos.El terme el valor absolut ha estat utilitzat com a mínim des de 1806 en francès i des de 1857 en anglès. La notació |x|, amb barres verticals a cada costat, va ser introduïda per Karl Weierstrass el 1841. Altres noms per valor absolut inclouen magnitud i valor numèric. En llenguatges de programació i paquets de programari computacional, el valor absolut de x és generalment representat per abs(x), o una expressió similar.

La notació de bar vertical també apareix en un número d'altres contextos matemàtics: per exemple, quan aplicat a un conjunt, denota la seva cardinalitat; quan aplicat a una matriu, denota el seu determinant. Les barres verticals denoten el valor absolut només per objectes algebraics per els que la idea de valor absolut és definida, especialment els elements d'una algèbra  normada com els nombres reals, els complex complex, o els quaternións. Una notació propera però diferent és la notació amb barres verticals dobles utilitzada per la norma euclidea \mathbb {R} ^{n} de prop ${\displaystyle }$elacio${\displaystyle }$at però la notació distinta és l'ús de bars verticals per qualsevol el euclidean norma o sup norma d'un vector en R n {${\displaystyle }$ \mathbb {R} ^{n}} , tot i que bars verticals dobles amb subíndexs ( |

${\displaystyle }$

⋅

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

{\displaystyle ${\displaystyle }$\cdot ${\displaystyle }$${\displaystyle }$_{2}} i | |

${\displaystyle }$

| |

${\displaystyle }$

{\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }} , respectivament) és un més comú i menys notació ambigua.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Definició i propietats

Números reals

Per qualsevol número real x, el valor absolut o modulus de x és denotat per |x| (un bar vertical en cada costat de la quantitat) i és definit mentre

El valor absolut de x és així sempre qualsevol positiu o zero, però mai negatiu, des de x x < 0 implica −x −x > 0.

D'un punt de vista de geometria analític, el valor absolut d'un número real és que la distància del número de zero al llarg de la línia de número real, i més generalment el valor absolut de la diferència de dos números reals és la distància entre ells. De fet, la idea d'una funció de distància abstracta en matemàtiques pot ser vista per ser una generalització del valor absolut de la diferència (veu "Distància" a sota).

Des del símbol d'arrel quadrat representa l'arrel quadrada positiva única (quan aplicat a un número positiu), segueix allò

${\displaystyle }$

És equivalent a la definició damunt, i pot ser utilitzat com una definició alternativa del valor absolut de números reals.

El valor absolut té el següents quatre propietats fonamentals (un, b és números reals), que són utilitzats per generalització d'aquesta idea a altres àmbits:

${\displaystyle }$	No-negativity
${\displaystyle }$	Positiu-definiteness
${\displaystyle }$	Multiplicativity
${\displaystyle }$	Subadditivity, concretament la desigualtat de triangle

No-negativity, positiu definiteness, i multiplicativity és de bon grat aparent de la definició. Per veure que su${\displaystyle }$additivity controls, escull ε {${\displaystyle }$ \varepsilon } de {

${\displaystyle }$ 1 , ${\displaystyle }$ } {\displaystyle \{-1,1\}} de manera que

${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ b ) ${\displaystyle }$ 0 {${\displaystyle }$ (un+b)\geq ${\displaystyle }$} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Des de ε x ≤ |

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

{\displaystyle \varepsilon ${\displaystyle }$\leq ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$} de veritat x {${\displaystyle }$} malgrat tot del valor de ${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$ } escollit, subadditivity segueix del càlcul

${\displaystyle }$

un + ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

= ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ) = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

| b | {\displaystyle |un+b|=\varepsilon (un+b)=\varepsilon un+\varepsilon b\leq |un|+|b|} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ (Per una generalització d'aquest argument a números complexos, veu "Prova de la desigualtat de triangle per números complexos" a sota.)

Algunes propietats útils addicionals són donades a sota. Aquests són tots implicat per les quatre propietats damunt.

| ${\displaystyle }$ Un ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {\displaystyle {\gran |}\,|un|\,{\gran |}=|un|}${\displaystyle }$	Idempotence (El valor absolut del valor absolut és el valor absolut)
${\displaystyle }$	Evenness (Simetria de reflexió del graf)
${\displaystyle }$	Identitat de indiscernibles (equivalent a positiu-definiteness)
${\displaystyle }$	Desigualtat de triangle (equivalent a subadditivity)
| Un b ${\displaystyle }$ = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$   {\displaystyle \deixat|{\frac {un}{${\displaystyle }$}}\correcte|={\frac {|un|}{|b|}}\ } (si b ${\displaystyle }$ 0 {\displaystyle b\neq ${\displaystyle }$} )${\displaystyle }$${\displaystyle }$	Preservació de divisió (equivalent a multiplicativity)
${\displaystyle }$	Desigualtat de triangle invers (equivalent a subadditivity)

${\displaystyle }$

| Un

         ${\displaystyle }$                  ≥         b
       
       ${\displaystyle }$
       
       ${\displaystyle }$
       ${\displaystyle }$
       ${\displaystyle }$
       ${\displaystyle }$                         {\displaystyle |${\displaystyle }$|\geq ${\displaystyle }$\iff un\leq -${\displaystyle }$\ }  o          un
       ${\displaystyle }$         b     {${\displaystyle }$}${\displaystyle }$${\displaystyle }$
 

Aquestes relacions poden soler solucionar les desigualtats que impliquen valors absoluts. Per exemple:

El valor absolut, mentre "distància de zero", sol definir la diferència absoluta entre números reals arbitraris, l'estàndard mètric en els números reals.

Des dels números complexos no són ordenats, la definició donada dalt de tot pel valor absolut real no pot ser directament aplicat a números complexos. Tanmateix la interpretació geomètrica del valor absolut d'un número real com la seva distància de 0 pot ser generalitzat. El valor absolut d'un número complex és definit per la distància Euclidiana del seu punt corresponent en l'avió complex de l'origen. Això pot ser computat utilitzant el teorema pitagòric: per qualsevol número complex

${\displaystyle }$

On x i y és números reals, el valor absolut o modulus de z és denotat |z| i és definit per

${\displaystyle }$

On Re(z) = x i Im(z) = y denotar les parts reals i imaginàries de z, respectivament. Quan la part imaginària y és zero, això coincideix amb la definició del valor absolut del número real x.

${\displaystyle }$

A${\displaystyle }$b r = [

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

( z ) ] 2

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ m ( ${\displaystyle }$ )

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ 0 {\displaystyle r={\sqrt {[\mathrm {Re} (${\displaystyle }$)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}\geq ${\displaystyle }$} (i θ ∈ arg(z) arg(z) és l'argument (o fase) de z), el seu valor absolut és${\displaystyle }$

|

       ${\displaystyle }$
       
         ${\displaystyle }$                  =
       ${\displaystyle }$                {\displaystyle |z|=r} .${\displaystyle }$

Des del producte de qualsevol número complex z i el seu complex conjugate 

z ${\displaystyle }$

= x ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ y , {\displa${\displaystyle }$style {\bar {z}}=x-iy,} amb el mateix valor absolut, és sempre el no-número real negatiu ( x 2

${\displaystyle }$

y

${\displaystyle }$

) {\displaystyle (x^{2}+y^{2})} , el valor absolut d'un número complex pot ser conveniently expressat mentre${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Assemblant-se a la definició alternativa per reals: | x

${\displaystyle }$

=

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

. {\displaystyle |${\displaystyle }$|={\sqrt {x\cdot x}}.${\displaystyle }$

El valor absolut complex comparteix les quatre propietats fonamentals donades damunt pel valor absolut real.

En el context d'àlgebra abstracta, des dels números reals positius formen un subgrup dels números complexos sota multiplicació, el multiplicative la propietat implica que podem pensar de valor absolut com un endomorfisme del multiplicative grup dels números complexos.

Importantly, la propietat de subadditivity ("desigualtat de triangle") estén a qualsevol col·lecció finita de n numbers ${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$ as complexos ( k ) = n {\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}

Aquesta desigualtat també aplica a famílies infinites, amb la condició que la sèrie infinita

${\displaystyle }$

k = ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

{\textstyle \suma _{k=1}^{\infty }z_{k}} és absolutament convergent.${\displaystyle }$ Si Lebesgue la integració és vista ${\displaystyle }$om el continu analògic de summation, llavo${\displaystyle }$s aquesta desigualtat és analogously obeït per complex-${\displaystyle }$uncions valorades, mesurables f

R

${\displaystyle }$

C {\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {C} } quan integrat sobre un subconjunt mesurable E {${\displaystyle }$} :${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Prova de la desigualtat de triangle per números complexos

(i): Allà existeix c

       ${\displaystyle }$
       
         ${\displaystyle }$                        {${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$\en \mathbb {C} }  tal que            |
       
       ${\displaystyle }$
       
         ${\displaystyle }$                  =
       ${\displaystyle }$                {${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$c${\displaystyle }$=1} ,            |         z           |         =         c
       ${\displaystyle }$
       ${\displaystyle }$                {\displaystyle |${\displaystyle }$|=c\cdot z} , i${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

(ii):

         ${\displaystyle }$
         ${\displaystyle }$                  (         z         )
       ${\displaystyle }$                    |
       
       ${\displaystyle }$
       
         ${\displaystyle }$                        {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} ; I també,${\displaystyle }$

(iii): Si ( w k )

           ${\displaystyle }$             =             1             ℓ     {\displaystyl${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$_{${\displaystyle }$})_{${\displaystyle }$=${\displaystyle }$}^{\alna }}  és una família de núme${\displaystyle }$os complexos amb una suma real, llavors aquesta suma            ∑
         
           ${\displaystyle }$             =
           ${\displaystyle }$          
         
           ${\displaystyle }$                  
       
         ${\displaystyle }$
         
           ${\displaystyle }$                            =
       
         ${\displaystyle }$                        k             =             1          
         
           ${\displaystyle }$                                      R           e         (           w             k         )     {\textstyle \suma _{k=1}^{\alna }w_{k}=\suma _{k=1}^{\alna }\mathrm {Re} (w_{k})} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Prova de

( ${\displaystyle }$ ) {\displaystyle ()} : Escull

${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$} tal que |

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

= 1 {\displaystyle ${\displaystyle }$c${\displaystyle }$=${\displaystyle }$} i | ∑ k z

${\displaystyle }$

| = c (

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

) , {\textstyle |\suma _{${\displaystyle }$}z_{k}|=c(\suma _{k}z_{k}),} summed per 1 ≤ k ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

. {${\displaystyle }$ 1\leq k\leq n\;.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$} La computació següent llavors es permet la desigualtat desitjada:${\displaystyle }$

Funció de valor absolut

El graf de la funció de valor absoluta de veritat números

Composició de valor absolut amb una funció cúbica en ordres diferents

La funció de valor absoluta real és contínua a tot arreu. És diferenciable a tot arreu excepte x = 0. És monotonically decreixement en l'interval (−∞,0] i monotonically augmentant en l'interval [0,+∞). Des d'un número real i el seu contrari tenen el mateix valor absolut, és un fins i tot funció, i és per això no invertible. La funció de valor absoluta real és un piecewise funció lineal, convexa.

Relació a la funció de signe

La funció de valor absoluta d'un número real retorna el seu valor irrespective del seu signe, mentre que el signe (o signum) la funció retorna el signe d'un número irrespective del seu valor. Les equacions següents mostren la relació entre aquestes dues funcions:

O

I per x ≠ 0 ,

${\displaystyle }$

Derivat

La funció de valor absoluta real té un derivat per cada x ≠ 0, però no és diferenciable a x = 0 = 0. El seu derivat per x ≠ 0 és donat per la funció de pas:

La funció de valor absoluta complexa és contínua a tot arreu però complex diferenciable enlloc perquè ell violates les equacions–de Riemann del Cauchy.

Distància

El valor absolut és de prop relacionat a la idea de distància. Mentre anotat damunt, el valor absolut d'un número real o complex és la distància d'aquell número a l'origen, al llarg de la línia de número real, de veritat números, o en l'avió complex, per números complexos, i més generalment, el valor absolut de la diferència de dos números reals o complexos és la distància entre ells.

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Això pot ser vist com a generalització, de llavors ençà per un 1 {${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$_{${\displaystyle }$}} i

${\displaystyle }$

1 {\displaystyle b_{1}} real, i.e. en un 1-espacial, segons la definició alternativa del valor absolut,${\displaystyle }$${\displaystyle }$

I per un =

${\displaystyle }$

1 + ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

2 {${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$=un_{${\displaystyle }$}${\displaystyle }$a_{${\displaystyle }$}} i b =

${\displaystyle }$

1 + i

${\displaystyle }$

2 {\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}} números complexos, i.e. en un 2-espacial,${\displaystyle }$${\displaystyle }$

El damunt mostra que el "valor absolut"-distància, de veritat i números complexos, està d'acord amb la distància Euclidiana estàndard, el qual hereten arran de considerar-los mentre un i espais Euclidians bidimensionals, respectivament.

Les propietats del valor absolut de la diferència de dos números reals o complexos: no-negativity, identitat de indiscernibles, simetria i la desigualtat de triangle donada damunt, pot ser vist per motivar la idea més general d'una funció de distància de la manera següent:

Una funció valorada real d en un conjunt X X × X  és cridat un mètric (o una funció de distància) en , si satisfà el següent quatre axiomes:

${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle }$ , ${\displaystyle }$ ) ${\displaystyle }$ 0 {\displaystyle d(un,b)\geq ${\displaystyle }$}${\displaystyle }$	No-negativity
${\displaystyle }$	Identitat de indiscernibles
${\displaystyle }$	Simetria
${\displaystyle }$	Desigualtat de triangle

Espais de vector

Un altre cop les propietats fonamentals del valor absolut de veritat els números poden ser utilitzats, amb una modificació lleu, per generalitzar la idea a un espai de vector arbitrari.

Un real-Funció Valorada en un vector espacial V sobre un camp F, va representar tan ‖·‖, és cridat un valor absolut, però més normalment una norma, si satisfà els axiomes següents:

${\displaystyle }$	No-negativity
${\displaystyle }$	Positiu-definiteness
${\displaystyle }$	Homogeneïtat positiva o positiu scalability
${\displaystyle }$	Subadditivity O la desigualtat de triangle

La norma d'un vector és també cridat la seva longitud o magnitud.

En el cas d'Euclidià espacial Rn, la funció definida per

${\displaystyle }$

És una noRma va cridar la norma Euclidiana. Quan els números reals R és considerat mentre el-espai de vector dimensional R1, el valor absolut és una norma, i és el p-norma (veu Lp espai) per qualsevol p. De fet el valor absolut és la "norma" única en R1, en el sentit que, per cada norma ‖·‖ en R1, ‖x‖ = ‖1‖ ⋅ |x|. El valor absolut complex és un cas especial de la norma en un espai de producte interior. És idèntic a la norma Euclidiana, si l'avió complex és identificat amb l'avió Euclidià R2.

Notes

[[Categoria:Nombres reals]] [[Categoria:Funcions especials]]