Variable aleatòria

(S'ha redirigit des de: Aleatorietat)

A l'estudi de molts experiments aleatoris molt sovint no ens interessa el resultat que s'obté sinó alguna quantitat numèrica relacionada amb ell. Per exemple, quan algú aposta en un joc d'atzar no l'interessa tant conèixer el resultat com el benefici (o la pèrdua) obtingut. Informalment, es defineix variable aleatòria com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori.[1]


DefinicióModifica

Designem per   el conjunt de resultats possibles d'un experiment aleatori. Una variable aleatòria és una aplicació  . Vegeu la definició formal a la darrera secció

Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb   (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb   (és a dir, en minúscules).

Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula variable és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la variable d'una funció.


Exemple

Considerem l'experiència aleatòria del llançament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és:

 
on el parell   vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat   i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat  . En general els elements de   es designen per  .

Podem considerar la variable aleatòria   que a cada resultat de l'experiència li assigna la suma dels punts dels dos daus, és a dir:

 

D'aquesta manera tenim una aplicació  . Per exemple, el resultat   (és a dir, dau1=1 i dau2=3} tindrà assignat el valor real 4:  .

Els valors possibles de la variable aleatòria serien:  .

S'escriu   per indicar l'esdeveniment format pels resultats   que fan que  . Per exemple,

 


Tipus de variables aleatòriesModifica

Estudiarem tres tipus de variables aleatòries: discretes, contínues (de fet, absolutament contínues) i mixtes.

Variables aleatòries discretesModifica

Una variable aleatòria s'anomena discreta si pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors.

ExemplesModifica
  1. La variable aleatòria que hem vist anteriorment del llançament de dos daus:  =suma dels punts dels dos daus, i que pot prendre un nombre finit de valors: 2,3, ...,12.
  2. Una variable aleatòria amb distribució binomial, que per les seves aplicacions, és una de les més important de les distribucions discretes de probabilitat.
  3. Una variable aleatòria amb distribució de Poisson que pot prendre qualsevol nombre natural: 0, 1, 2,... Per tant, pot prendre un nombre infinit numerable de valors.

Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.

Funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta.Modifica

Considerem una variable aleatòria discreta   que prengui els valors  Es defineix la funció de probabilitat [2](o funció de repartiment de massa de probabilitat o funció de densitat) de   a la funció  definida per

 
Cal notar que   a menys que   per algun valor  .


 
Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"

Exemple. En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que   perquè l'esdeveniment   té com a únic cas favorable {dau1=1 i dau2=1}. Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:

 
i  .

La funció de probabilitat   determina totes les probabilitats relacionades amb  :

 
Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:
 
Funció de distribució d'una variable discreta

Donada una variable aleatòria general   la seva funció de distribució [3] és la funció   definida per  Aquest funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria).

En particular, per a una variable discreta , amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per

 
ExempleModifica

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss). Així,

 

Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció:

 

donada per

 
 
 

El conjunt possibles valors de X és {0, 1, 2}. O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.

 
Figura 1. Funció de probabilitat

La funció de probabilitat és  , i   per a  . Vegeu la Figura 1.

La funció de distribució ve donada per

 .


 
Figura 2. Funció de distribució.

Vegeu la Figura 2.


Variables aleatòries contínuesModifica

Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors que no es poden enumerar, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, que informalment també s'anomenen variables aleatòries contínues.

Una variable aleatòria es diu que és contínua (de fet, s'hauria de dir absolutament contínua o variable contínua amb densitat) si existeix una funció   que compleix

  1.  
  2.   és integrable i   és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura 3.
     
    Figura 3. L'àrea entre la corba de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1.

3. Per a  ,

 
Figura 4. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat

 
És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval   és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció , l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.Vegeu la Figura 4.

La funció   s'anomena funció de densitat de  . La funció de distribució és

 

i   és contínua (de fet és absolutament contínua). Noteu que per a qualsevol valor  

 


Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:

  • La mesura del temps d'avanç o retard amb què un tren arriba a la seva destinació.
  • El pes dels nadons en una població.
  • Les alçades de la població adulta.
  • La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.

ExemplesModifica

  1. El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.
  2. Distribució uniforme en un interval  . La funció de densitat ve definida per:

 

i la funció de disribució és

 


3. Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobussos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si   representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores   té una distribució uniforme a l'interval   . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria   que es mostra al gràfic de la Figura 5.

 
Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"


El valor de f(x) per a l'interval de temps   s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1.

Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més?

La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de   serà, doncs, 3x0.1=0,3.


Variables aleatòries mixtesModifica

 
Figura 6. Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta

Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatòri com el de la Figura 6: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un número entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen   el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors, i per tant no és discreta, però d'altra banda  , i tampoc és contínua. Notem que per a  ,

 
En particular, per   Aleshores la funció de distribució   valdrà:
 
Figura 7. Funció de distribució d'una variable de tipus mixt

 
Vegeu la Figura 7.


Paràmetres de les variables aleatòriesModifica

Estudiarem dos paràmetres per mesurar numèricament "el centre" i "la dispersió" d'una variable aleatòria. Vegeu esperança matemàtica i variància

Variable aleatòria discretaModifica

MitjanaModifica

La mitjana o esperança matemàtica   d'una variable aleatòria discreta   es defineix en termes de la funció de probabilitat:

 
sempre que  .

La suma s'estén a tots els posibles valors  de la variable aleatòria.

En l'exemple dels dos daus val:

 

La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de valor esperat (o esperança) i es representa  

VariànciaModifica

En teoria de la probabilitat i estadística, Variància és un paràmetre estadístic que mesura la dispersió d'una variable aleatòria   respecte la seva mitjana o esperança  .[4]

 
sempre que  
En el cas discret es calcula per la fórmula
 

La variància és el quadrat d'una altre paràmetre de dispersió, la desviació tipus  , és a dir:    .

La variància és representa mitjançant  ,  , o simplement  .

La variància té un paper central en: estadística descriptiva, inferència estadística, test d'hipòtesi, mètode Monte Carlo,...

És també molt important en les ciències que utilitzen freqüentment l'anàlisi estadística de les dades.

Variable aleatòria contínuaModifica

MitjanaModifica

La mitjana o valor esperat   d'una variable aleatòria contínua  es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:

 
VariànciaModifica

La variància es defineix per la fórmula:

 

Funcions de variables aleatòriesModifica

Aplicar una funció a una variable aleatòria resulta en una variable aleatòria. Més concretament, si tenim una variable aleatòria X i una funció mesurable g: RR, aleshores Y = gX) també és una variable aleatòria (vegeu a la darrera secció les condicions formals). La funció de distribució de Y és

 

Exemple 1Modifica

Sigui X una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

Si y < 0, aleshores P(X2y) = 0, i per tant

 

Si y ≥ 0, aleshores

 

i per tant

 

Exemple 2Modifica

Suposem que   és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

on   és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria   Aleshores, si  ,

 

La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d'  i per tant

 
Si    


Definició formal de variable aleatòriaModifica

Considerem un espai de probabilitat  , on   és un conjunt,   és una σ-àlgebra sobre   (la família d'esdeveniments) i   és una probabilitat. Designem per   la σ-àlgebra de Borel sobre els nombres reals  . Una variable aleatòria[5] és una aplicació   que és   mesurable, és a dir, que per qualsevol  ,

 

En les expressions com (1), els elements   no s'acostumen a escriure (però cal tenir-los sempre presents), de manera que s'escriu   en lloc de  , o bé es posa

 

o altres expressions similars.

Donada l'estructura de la  -algebra de Borel   sobre els nombres reals, per demostrar la condició (1) n'hi ha prou amb comprovar-la per a qualsevol classe d'intervals de la forma   o  , etc.[5] Molts autors prenen aquest darrer tipus d'interval, de manera que la condició de variable aleatòria es pot formular:

 

Cas d'espais finits o numerablesModifica

Quan el conjunt   és finit o infinit numerable, en molts casos es pot prendre com  -àlgebra d'esdeveniments   el conjunt de les parts de  . Llavors,[6] qualsevol aplicació   compleix la condició de mesurabilitat (1), i per tant en aquest cas, la definició intuïtiva del principi i la formal coincideixen.

Operacions amb variables aleatòriesModifica

  1. Si   i   són dues variables aleatòries, aleshores [7]   son variables aleatòries, i si   per tot  , aleshores   també és una variable aleatòria.

2. Si   és una successió de variables aleatòries tals que per tot   la successió numèrica   convergeix, aleshores la funció   definida per

 

també és una variable aleatòria.[7]

3. Sigui   una variable aleatòria i   una funció mesurable respecte la   -àlgebra de Borel. Aleshores   també és una variable aleatòria.[8]

Observacions:

  1. La funció   no cal que estigui definida a tot  , sinó només al conjunt on pren valors la variable  . Per exemple, si   és discreta,   ha d'estar definida en el conjunt   dels punts tals que  . O si   és una variable no negativa, aleshores   n'hi ha prou que estigui definida a  .
  2. Tota funció contínua és Borel mesurable.[8]


Funció de distribució d'una variable aleatòriaModifica

Donada una variable aleatòria   la seva funció de distribució [3] és la funció   definida per  Té les següents propietats:[9]

  1. La funció   és no decreixent:  
  2. La funció   és contínua per la dreta i té límits per l'esquerra en tot punt.
  3.  
  4.  .
  5.  , on   és el limit per l'esquerra de   en el punt  .
  6.  . És a dir,   és discontínua en el punt   si i només si  .

Com a conseqüència del punt 6, la funció de distribució d'una variable discreta és discontínua en el valors que pot prendre amb probabilitat diferent de zero. També es dedueix que la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua és contínua a tot arreu.

Observació. Alguns autors [5] defineixen la funció de distribució per  . Aquesta funció és contínua per l'esquerra

Llei o distribució d'una variable aleatòriaModifica

Una variable aleatòria   definida en un espai de probabilitat   indueix una probabilitat, designada per  , sobre l'espai mesurable   de la següent manera: per qualsevol  ,

 

Aquesta probabilitat   s'anomena la llei o la distribució [3] de la variable aleatòria  , i no s'ha de confondre amb la funció de distribució   que hem vist anteriorment; la seva relació ve donara per

 
En el cas discret, la forma habitual de referir-se a la llei és mitjançant la funció de probabilitat, i en el cas absolutament continu per la funció de densitat.

Igualtat en llei (o distribució) de variables aleatòriesModifica

Diem que dues variables aleatòries   (que poden estar definides en diferent espai de probabilitats) són iguals en llei o distribució si les lleis són iguals.

Exemples.Modifica
  1. Juguem amb un dau perfecte, considerem la variable   que val 1 si surt parell i 0 si surt senar. Tirem una moneda perfecta; sigui   la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. A l'exemple inicial on tiràvem dos daus, si   representa el resultat del primer dau i   el del segon dau, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però  

Igualtat quasi segura de variables aleatòriesModifica

Es diu que dues variables aleatòries   (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si  . Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.


Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Probabilidad y Estadística. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)


ReferènciesModifica

  1. Bonet, Eduard.. Fonaments d'estadística (en català). 1a ed. Barcelona: Teide, 1974, p. 67. ISBN 8430773495. 
  2. DeGroot, Morris H., 1931-. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, pp. 105-106. ISBN 0201644053. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Bonet, Eduard.. Fonaments d'estadística (en català). 1a ed. Barcelona: Teide, 1974, p. 133. ISBN 8430773495. 
  4. Gran Enciclopèdia Catalana, Volum 23 (en català). 1980,1989. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, p. 443. ISBN 84-85194-81-0. 
  5. 5,0 5,1 5,2 Loeve, Michel.. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 152. ISBN 8430906630. 
  6. Krickeberg, Klaus.. Teoría de la probabilidad. Barcelona: Teide, [1973], p. 25. ISBN 843077324X. 
  7. 7,0 7,1 Neveu, Jacques, (1932- ...). Bases mathématiques du calcul des probabilités. 2ème édition revue et corrigée. París: Masson et Cie, 1970, p. 35. ISBN 2225617872. 
  8. 8,0 8,1 Ash, Robert B.. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000, p. 36. ISBN 0120652021. 
  9. DeGroot, Morris H., 1931-. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, pp. 105-106. ISBN 0201644053.