Obre el menú principal

Grup (matemàtiques)

estructura algebraica
(S'ha redirigit des de: Grup algebraic)
Les possibles manipulacions del cub de Rubik formen un grup.

Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que es detallaran més endavant.

Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests es troben els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició.

Definició de grupModifica

Un grup és un conjunt G on hi ha definida una operació binària   amb les propietats següents:

  •   (existència d'element neutre)
  •   (existència d'element invers)
  •   (associativitat)

Si a més G verifica la propietat addicional següent:

  •   (commutativitat)

es diu que el grup (G,*) és un grup abelià o commutatiu Per indicar que un grup és abelià és comú notar l'operació binària pel símbol + en comptes de *.

Definició alternativaModifica

Es pot donar una definició alternativa de grup, que té l'avantatge que no conté existencials. Un grup és un conjunt G on hi ha definides tres operacions, una binària anomenada producte, una unària anomenada invers, i una zero-ària anomenada element neutre, notades respectivament

  •  
  •  
  •  

i que compleixen les propietats següents:

  •  
  •  
  •  

Propietats bàsiquesModifica

De l'element   de la primera propietat se'n diu element neutre. Un grup només té un element neutre, perquè si suposem que té dos elements neutres   aplicant dos cops la primera propietat tenim

 

De l'element   de la segona propietat se'n diu element invers de  . La segona propietat afirma que cada element del grup té almenys un invers. A més tot element té com a màxim un invers, perquè si   tingués dos elements inversos   llavors tindriem

 

Com que l'element invers d'un element   de G és únic el notem  . L'invers del neutre és el neutre. L'invers de l'invers d'un element és ell mateix. Amb la nostra notació:

 

Si   llavors   perquè tenim

 
 

(posar altres propietats bàsiques)


Morfismes de grupsModifica

Siguin   i   dos grups amb les seves respectives operacions. Hi ha moltes maneres d'assignar a cada element de   un element de  . De entre totes les maneres que hi ha de fer això

 

anomenarem morfismes de grups a aquelles que verifiquen un "bon comportament" respecte de les estructures de grup de cada grup. Concretament anomenarem morfismes de grups a totes les aplicacions   que verifiquen:

  •  

Els morfismes de grups no són aplicacions massa alocades. La idea és arribar a definir amb precisió què significa que dos grups siguin equivalents tot i no ser la mateixa cosa conjuntísticament parlant.

Primera propietat senzilla: si   i   són els respectius elements neutres i   és morfisme llavors  . Vegem-ho:

 
 

Moltes vegades aquesta propietat s'imposa en la definició de morfisme, però ja es veu que no cal.

Segona propietat senzilla: si   és un morfisme de grups, llavors  . Vegem-ho:

 
 


Exemples de grupsModifica

Grup simètricModifica

Sigui X un conjunt qualsevol, i sigui   el conjunt de les aplicacions bijectives de X en X. Llavors   és un grup on   és la composició d'aplicacions. L'element neutre n'és l'aplicació identitat, i la inversa d'una aplicació n'és l'invers en el grup. Aquest grup s'anomena grup simètric de X.

Si X és un conjunt finit de n elements llavors  n! elements.

Si   és un grup qualsevol, llavors   té algun subgrup isomorf a  . En altres paraules, tot grup es pot veure com a subgrup d'algun grup simètric.

SubgrupsModifica

Article principal: Subgrup

Direm que   és un subgrup de   si   i   té estructura de grup amb l'operació binària * de   (verifica les tres propietats de la definició de grup) i és tancat amb aquesta operació,

 

Si un grup és abelià aleshores els seus subgrups també ho són. A més tot grup conté un subgrup abelià. De fet el grup format per un sol element

 

sempre és un subgrup de qualsevol grup i és abelià.

Exemple de subgrup: Z(G)Modifica

Article principal: Centre d'un grup

Definim Z(G) (el centre de G) com:

 

L'objectiu és veure que   és un subgrup de  .

Per una banda sabem que:

 

A més   és tancat per l'operació * de  , perquè si   donat un   qualsevol tenim

 

Per tant  

Per veure que   té estructura de grup només cal veure que el neutre hi pertany (la qual cosa és certa per la primera propietat de grup i la definició de  ) i que l'invers d'un element que hi pertanyi també hi pertany. Això és dir:

 

però ho podem justificar perquè tenim les identitats:

 
 

Per com està definit és clar que   és un grup abelià.

Si   llavors resulta que   és un grup abelià. El recíproc també és cert.

Subgrups relacionats amb morfismesModifica

Donat un morfisme de grups   podem definir a   i   els subgrups   i   de la següent manera:

 
 

A partir d'aquí es pot obtenir un resultat, conegut com el Primer Teorema d'Isomorfia:

 

Categoria dels grupsModifica

La categoria Grp, anomenada categoria dels grups, té per objectes els grups i per morfismes els morfismes de grups. Els isomorfismes d'aquesta categoria coincideixen amb els isomorfismes de grups.

Vegeu tambéModifica